М - середина АВ, О - центр окружности, К - точка пересечения ВО и АС. Поскольку ВК - диаметр окружности, а угол С - прямой, точка К лежит на окружности. Стороны АВС легко вычислить, поскольку угол А = 30°. ВС = AC/2 = 2√3; AC = 4√3*(√3/2) = 6; Так же MB = MC = AC/2 = 2√3; Ясно, что ВМС - равносторонний треугольник. O - центр его описанной окружности. Поэтому ВО - биссектриса угла В. При этом точка К (в которой пересекаются окружность, катет АС и биссектриса ВО) делит сторону АС в отношении АК/KC = AB/BC = 2; поэтому АК = 4, КС = 2; Так же легко сосчитать радиус окружности КО = 2; (занятно, что проще всего В ЭТОЙ ЗАДАЧЕ это увидеть, если заметить, что КОС - тоже равносторонний треугольник. Хотя R = a/√3 в любом равностороннем треугольнике...). Осталось увидеть, что угол ОКА = 120°; - внешний угол треугольнику ВКС, он равен угол AСB + угол KBC = 90° + 30°; По теореме косинусов для треугольник АОК AO^2 = 4^2 + 2^2 + 4*2 = 28; AO = 2√7; Если есть две касающиеся окружности - одна радиуса 2 с центром в О, другая - радиусом R с центром в А, то АО = R + 2; отсюда R = 2√7 - 2;
Пусть х1 = к, тогда х2=5к. Воспользуемся т. Виета: х1+х2=2а+4 и х1*х2=a^2+4. Имеем систему: к+5к=2а+4 и к*5к=a^2+4; 6к=2а+4 и 5к^2=a^2+4; 3к=а+2 и 5к^2=a^2+4; а=2-3к и 5к^2=a^2+4. Далее подставляем значение а=2-3к во второе уравнение системы и решаем полученное квадратное уравнение (решения кв уравнения к1=1; к2=2) После этого подставив значения к1 и к2 в первое уравнение находим значения а, при которых корни уравнения отличаются в 5 раз: а1=1; а2=4 Задачи 2 и 3 решаются аналогично ( с применением т. Виета). В задаче 4 надо уравнение разделить на а: x^2-((a+3)/а)x+3/а=0 и дальше решать так же как и предыдущие.
Стороны АВС легко вычислить, поскольку угол А = 30°.
ВС = AC/2 = 2√3; AC = 4√3*(√3/2) = 6;
Так же MB = MC = AC/2 = 2√3;
Ясно, что ВМС - равносторонний треугольник. O - центр его описанной окружности. Поэтому ВО - биссектриса угла В. При этом точка К (в которой пересекаются окружность, катет АС и биссектриса ВО) делит сторону АС в отношении АК/KC = AB/BC = 2; поэтому АК = 4, КС = 2;
Так же легко сосчитать радиус окружности КО = 2; (занятно, что проще всего В ЭТОЙ ЗАДАЧЕ это увидеть, если заметить, что КОС - тоже равносторонний треугольник. Хотя R = a/√3 в любом равностороннем треугольнике...).
Осталось увидеть, что угол ОКА = 120°; - внешний угол треугольнику ВКС, он равен угол AСB + угол KBC = 90° + 30°;
По теореме косинусов для треугольник АОК
AO^2 = 4^2 + 2^2 + 4*2 = 28; AO = 2√7;
Если есть две касающиеся окружности - одна радиуса 2 с центром в О, другая - радиусом R с центром в А, то АО = R + 2; отсюда R = 2√7 - 2;
Имеем систему: к+5к=2а+4 и к*5к=a^2+4; 6к=2а+4 и 5к^2=a^2+4; 3к=а+2 и 5к^2=a^2+4; а=2-3к и 5к^2=a^2+4. Далее подставляем значение а=2-3к во второе уравнение системы и решаем полученное квадратное уравнение (решения кв уравнения к1=1; к2=2) После этого подставив значения к1 и к2 в первое уравнение находим значения а, при которых корни уравнения отличаются в 5 раз: а1=1; а2=4
Задачи 2 и 3 решаются аналогично ( с применением т. Виета).
В задаче 4 надо уравнение разделить на а: x^2-((a+3)/а)x+3/а=0 и дальше решать так же как и предыдущие.