Доведения:
Нехай дано ∆АВС, ВМ - бісектриса ∟ABC,
т. О - середина ВM, РК ┴ ВМ, доведемо, що МК ‖ АВ.
Розглянемо ∆ВРМ.
РО - медіана (так як ВО = ОМ), РО - висота (РК ┴ ВМ).
Так як медіана трикутника є висотою,
то ∆ВРМ - рівнобедрений (ВР = РМ).
Розглянемо ∆ВРК - рівнобедрений, так як бісектриса ВО є висотою,
тоді ВР = ВК. Розглянемо ∆ВРМ i ∆ВКМ.
1) ВР = ВК (∆ВРК - рівнобедрений);
2) ∟PBM = ∟KBM (ВМ - бісектриса ∟B);
3) ВМ - спільна.
Отже, ∆ВРМ = ∆ВКМ за I ознакою piвностi трикутників, з цього випливає,
що ∟BMP = ∟BMK, ВР = РМ - МК = КВ.
Розглянемо ∟ВРО i ∟MKO.
1) ВО = ОМ (т. О - середина ВМ);
2) ∟POB = ∟KOM = 90° (РК ┴ ВМ);
3) ∟PBO = ∟KMO.
Отже, ∆ВРО = ∆МКО за II ознакою piвностi трикутників, тоді ∟BPO = ∟MKO.
Ці кути є piзносторонніми при прямих ВР i МК та січній РК, так як ∟BPO = ∟MKO,
то за ознакою паралельності прямих ВР МК, або АВ ‖ МК.
Нехай дано ∆АВС, ВМ - бісектриса ∟ABC,
т. О - середина ВM, РК ┴ ВМ, доведемо, що МК ‖ АВ.
Розглянемо ∆ВРМ.
РО - медіана (так як ВО = ОМ), РО - висота (РК ┴ ВМ).
Так як медіана трикутника є висотою,
то ∆ВРМ - рівнобедрений (ВР = РМ).
Розглянемо ∆ВРК - рівнобедрений, так як бісектриса ВО є висотою,
тоді ВР = ВК. Розглянемо ∆ВРМ i ∆ВКМ.
1) ВР = ВК (∆ВРК - рівнобедрений);
2) ∟PBM = ∟KBM (ВМ - бісектриса ∟B);
3) ВМ - спільна.
Отже, ∆ВРМ = ∆ВКМ за I ознакою piвностi трикутників, з цього випливає,
що ∟BMP = ∟BMK, ВР = РМ - МК = КВ.
Розглянемо ∟ВРО i ∟MKO.
1) ВО = ОМ (т. О - середина ВМ);
2) ∟POB = ∟KOM = 90° (РК ┴ ВМ);
3) ∟PBO = ∟KMO.
Отже, ∆ВРО = ∆МКО за II ознакою piвностi трикутників, тоді ∟BPO = ∟MKO.
Ці кути є piзносторонніми при прямих ВР i МК та січній РК, так як ∟BPO = ∟MKO,
то за ознакою паралельності прямих ВР МК, або АВ ‖ МК.
Зовнішній кут дорівнює 54°, тоді внутрішній буде тупий,
це не може бути кут при ocновi, так як в трикутнику не може
бути 2 тупих кута. (∟A = ∟C). Тому це кут при вершині В.
∟DBC = 54°. ∟DBC = ∟A + ∟C; 54° = ∟A + ∟C.
∟A = ∟C = 54° : 2 = 27°.
∟ABC = 180° - 54° = 126°.
Bідповідь: 27°; 27°; 126°.
2) а) ∆АВС - рівнобедрений (АВ = ВС).
Нехай зовнішній кут 112° - це кут при вершині В.
∟DBC = 112°, тоді ∟DBC = ∟A + ∟C;
112° = ∟A + ∟С; ∟B = 180° - 112° = 68°.
∟A = ∟C = 112° : 2 = 56
Biдповідь: 56°; 56°; 68°.
б) ∆АВС - рівнобедрений (АВ = ВС).
Нехай зовнішній кут 112° - це кут при основі ∟BCD = 112°, тоді
∟BCD + ∟BCA = 180°; ∟BCA = 180° - 112° - 68°.
∟BCA = ∟BAC = 68° (∆АВС - р1внобедрений).
∟BAC + ∟BCA + ∟B = 180°.
∟B = 180° - (68° + 68°) = 180° - 136° = 44°.
Biдповідь: 68°, 68°, 44°.