Решение, а) Прямоугольные треугольники АНМ\ и АНМ^ равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому их гипотенузы АМ\ и АМ^ равны. б) Если точки М\ и Мъ лежат по разные стороны от точки Н, то на луче НМ^ отложим отрезок ЯМз = НМ\ (рис. 193); согласно доказанному в части а) АМ^ = АМ\. В противном случае примем за точку Мз точку М\. Угол АМ3М2 является внешним углом треугольника АНМо,, поэтому он больше прямого угла Н этого треугольника. Следовательно, в тупоугольном треугольнике АМ^М^ сторона АМ^, лежащая против тупого угла, больше стороны АМ% = АМ\, лежащей против острого угла.
Решение, а) Прямоугольные треугольники АНМ\ и АНМ^ равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому их гипотенузы АМ\ и АМ^ равны.
б) Если точки М\ и Мъ лежат по разные стороны от точки Н, то на луче НМ^ отложим отрезок ЯМз = НМ\ (рис. 193); согласно доказанному в части а) АМ^ = АМ\. В противном случае примем за точку Мз точку М\.
Угол АМ3М2 является внешним углом треугольника АНМо,, поэтому он больше прямого угла Н этого треугольника. Следовательно, в тупоугольном треугольнике АМ^М^ сторона АМ^, лежащая против тупого угла, больше стороны АМ% = АМ\, лежащей против острого угла.
Решение. Обозначим угол А треугольника ABC буквой а. Треугольник APQ — равнобедренный, и угол RPQ — внешний угол этого треугольника, поэтому ZRPQ = 2а. Треугольник RPQ также равнобедренный, а значит, Z.PRQ = ZRPQ = 2а.
Угол BQR — внешний угол треугольника AQR, поэтому ZBQR = а + 2а = За. Треугольник BQR — равнобедренный, следовательно,
ZRBQ = ZBQR = За.
Угол BRC — внешний угол треугольника ABR, поэтому ZBRC = а + За = 4а, а поскольку треугольник BCR равнобедренный, то ZBCR = ZBRC = 4а. Итак, в равнобедренном треугольнике ABC ZA = a, ZB = ZC = = 4а. Имеем:
а + 4а + 4а = 180°, откуда а = 20°.
Ответ. 20°