Сделаем рисунок Окружность О касается катета ВС, вершина А противоположного катету ВС угла лежит на окружности. Центр О принадлежит гипотенузе АВ. Пусть окружность пересекает гипотенузу в точке К и касается катета ВС в точке Н. Дополним треугольник АВС до квадрата АСВД. Окружность О вписана в угол СВД, ОМ=ВН= радиус АВ=10√2 см - как диагональ квадрата со стороной 10 см В - точка, из которой проведены к окружности касательная ВН и секущая ВА. Для любых секущей и касательной, проведенных из произвольной точки вне окружности, произведение длины секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной. Пусть КВ=х Тогда АК=АВ-х=10√2-х АО=ОК=АК:2=(10√2-х):2 НВ=АО=ОМ=(10√2-х):2 НВ²=ВК*АВ (10√2-х)²:4=10х√2 200-20х√2+х²=40х√2 х²-60х√2+200=0 D=b² - 4ac D=(-60√2)²-4*200=6400 х=(60√2-80):2=30√2-40 (второй корень не подходит по величине) НВ²=(30√2-40)*10√2=600-400√2=≈34,314575 НВ=√(34,314575)=5,85786=≈5,86см ответ: Радиус равен приблизительно 5,86 см Рисунок тот же. . Гипотенуза АВ=10√2 Пусть радиус АО окружности будет r. ОН=НВ=r Тогда ОВ=r√2 Но ОВ=АВ-АО=10√2 -r 10√2 -r= r√2 10√2 = r√2+r 10√2 = r(√2+1) r=10√2:(√2+1) Домножим числитель и знаменатель дроби на (√2-1) и получим по формуле сокращенного умножения в знаменателе (2-1)=1 r=(√2-1)*10√2:1=(√2-1)*10√2 r=20-10√2=10(2-√2) r= 10(2-√2)=10*0,585796=≈5,86см
вершина А противоположного катету ВС угла лежит на окружности.
Центр О принадлежит гипотенузе АВ.
Пусть окружность пересекает гипотенузу в точке К
и касается катета ВС в точке Н.
Дополним треугольник АВС до квадрата АСВД.
Окружность О вписана в угол СВД,
ОМ=ВН= радиус
АВ=10√2 см - как диагональ квадрата со стороной 10 см
В - точка, из которой проведены к окружности касательная ВН и секущая ВА.
Для любых секущей и касательной, проведенных из произвольной точки вне окружности, произведение длины секущей на ее внешнюю часть равно квадрату длины касательной.
Пусть КВ=х
Тогда АК=АВ-х=10√2-х
АО=ОК=АК:2=(10√2-х):2
НВ=АО=ОМ=(10√2-х):2
НВ²=ВК*АВ
(10√2-х)²:4=10х√2
200-20х√2+х²=40х√2
х²-60х√2+200=0
D=b² - 4ac
D=(-60√2)²-4*200=6400
х=(60√2-80):2=30√2-40 (второй корень не подходит по величине)
НВ²=(30√2-40)*10√2=600-400√2=≈34,314575
НВ=√(34,314575)=5,85786=≈5,86см
ответ: Радиус равен приблизительно 5,86 см Рисунок тот же.
. Гипотенуза АВ=10√2
Пусть радиус АО окружности будет r.
ОН=НВ=r
Тогда ОВ=r√2
Но ОВ=АВ-АО=10√2 -r
10√2 -r= r√2
10√2 = r√2+r
10√2 = r(√2+1)
r=10√2:(√2+1)
Домножим числитель и знаменатель дроби на (√2-1) и получим по формуле сокращенного умножения в знаменателе (2-1)=1
r=(√2-1)*10√2:1=(√2-1)*10√2
r=20-10√2=10(2-√2)
r= 10(2-√2)=10*0,585796=≈5,86см