Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если

Решение.
Обозначим через А событие – две пули поразили мишень. Сделаем два предположения (гипотезы): В1 – третий стрелок поразил мишень; В2 – третий стрелок не попал в мишень.
По условию, Р(В1) = 0,4; следовательно (событие В2 противоположно событию В1),
Р(В2) = 1 – 0,4 = 0,6.
Найдем условную вероятность РВ1(А), т. е. вероятность того, что мишень поразили две пули, причем одна из них принадлежит третьему стрелку и, следовательно, вторая – либо первому стрелку (при этом второй не попал), либо второму стрелку (при этом первый не попал). Эти два события несовместны, поэтому применима теорема сложения:
РВ1(А) = p1?q2 + p2?q1 = 0,6?0,5 + 0,5?0,4 = 0,5.
Найдем условную вероятность РВ2(А), т. е. вероятность того, что мишень поразили две пули, причем третий стрелок промахнулся. Другими словами, найдем вероятность того, что первый и второй стрелки поразили мишень. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения:
РВ2(А) = p1?p2 = 0,6?0,5 = 0,3.
Искомая вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, по формуле Бейеса равна
РА(В1)=Р(В1)?РВ1(А)/[Р(В1)?РВ1(А)+Р(В2)?РВ2(А)]=
=0,4?0,5/(0,4?0,5+0,6?0,3 )=10/19.
Ответ: 10/19.