Одно из возможных решений:
Обозначим точку касания окружности со стороной АС через Р, а со стороной ВС через Q.
Пусть АР = АК = х, СР = СQ = y, BQ = BK = 11 - y (воспользовались условием ВС = 11).
Ближайшая цель - получить систему уравнений относительно неизвестных х и у. Одно уравнение уже есть - теорема косинусов для треугольника АСВ. Второе, например, теорема косинусов для треугольника КРС. В этом треугольнике РС = у, СК = х + у (по условию), РК найдём по теореме косинусов из треугольника АРК:
РК = х * √5/3
Косинус угла АСК также можно посчитать:
угол АСК равен 180 градусов минус два угла А, значит, косинус угла АСК равен минус косинус удвоенного угла А, или 1 минус 2 квадрата косинуса угла А, что равно дроби 17/18.
Итак, имеем систему двух уравнений:
Первое уравнение однородное. Поделив обе его части на ху (это можно сделать, так как ху не равно 0), получим простое квадратное уравнение относительно переменной t = y/x.
Решив его, находим t = √6, откуда у = х(√6).
Подставив эту замену во второе уравнение, найдём х. Ответ к задаче посчитаем, взяв х + у.
Обозначим точку касания окружности со стороной АС через Р, а со стороной ВС через Q.
Пусть АР = АК = х, СР = СQ = y, BQ = BK = 11 - y (воспользовались условием ВС = 11).
Ближайшая цель - получить систему уравнений относительно неизвестных х и у. Одно уравнение уже есть - теорема косинусов для треугольника АСВ. Второе, например, теорема косинусов для треугольника КРС. В этом треугольнике РС = у, СК = х + у (по условию), РК найдём по теореме косинусов из треугольника АРК:
РК = х * √5/3
Косинус угла АСК также можно посчитать:
угол АСК равен 180 градусов минус два угла А, значит, косинус угла АСК равен минус косинус удвоенного угла А, или 1 минус 2 квадрата косинуса угла А, что равно дроби 17/18.
Итак, имеем систему двух уравнений:
(1) 5/3x2 = y^2 + (x + y)^2 - 2y(x + y)17/18 (теорема косинусов для треугольника КРС);
(2) 121 = (x + y)^2 + (x + 11 - y)^2 - 2(x + y)(x + 11 - y)1/6 (теорема косинусов для треугольника АВС).
Первое уравнение однородное. Поделив обе его части на ху (это можно сделать, так как ху не равно 0), получим простое квадратное уравнение относительно переменной t = y/x.
Решив его, находим t = √6, откуда у = х(√6).
Подставив эту замену во второе уравнение, найдём х. Ответ к задаче посчитаем, взяв х + у.