Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.
Правильная пирамида
Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен
MO/MK = 1/2
откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 градусов.

Откуда
KO / MK = cos 30
KO / 8 = cos 30
KO = 8 cos 30

По таблице тригонометрических функций найдем значение косинуса 30 градусов.

KO = 8√3/2 = 4√3

Учтем, что KO является радиусом вписанной окружности в основание правильной треугольной пирамиды (согласно свойствам правильной пирамиды). Тогда по свойству равностороннего треугольника
Формулы равностороннего треугольника

r = a√3/6
Подставим в формулу известное нам значение радиуса вписанной окружности, откуда найдем значение стороны равностороннего треугольника

4√3 = a√3/6
a = 24

Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника:
Sт = 1/2 * 24 * 8 = 96 см2

Откуда площадь боковой поверхности пирамиды
S = 3 Sт = 3 * 96 = 288 см2 .

Ответ: 288 см2.