Если бы никакого препятствия в виде стены не было, то уравнения движения маятника для угла и двух его производных от времени выглядело бы так:
φ = Φcosωt (Φ – начальное и максимальное значение угла отклонения) ; φ' = –Φωsinωt ; φ'' = –Φω²cosωt ;
В нашем случае, во время столкновения – всё пойдёт немного не так, но поскольку вне стены маятник предоставлен сам себе, а после упругого столкновения полная энергия, а значит и амплитуда колебаний сохраняется, то вне стены он будет продолжать колебаться как маятник. Уравнение движения в таком случае можно записать так:
φ = Φcosδ ; φ' = –Φωsinδ ; φ'' = –Φω²cosδ ;
Где внутренний гармонический параметр δ – или «фаза» будет уже зависеть от времени не просто линейно, а как-то сложнее. Разберёмся с этим.
До первого столкновения со стенкой колебание не отличается от обычного гармонического, а значит δ = ωt ;
Не указано, как сориентирована стенка, т.е. идёт ли она круто под наклоном, так что свободно мятник на ней просто лежит, или же стенка вообще отвесная, и маятник может висеть рядом с ней вертикально. Так что величина угла столкновения может быть, как Φ/2, так и –Φ/2 (для отвесной стенки):
Итак, когда грузик достигнет стены: φ = ±Φ/2, получаем:
±Φ/2 = Φcosδн ;
cosδн = ±1/2 ;
δн+ = π/3 – фаза начала удара для крутой стенки, на которой свободный маятник лежит;
δн– = 2π/3 – фаза начала удара для отвесной стенки с возможностью вертикального провисания;
После удара об стену, грузик изменит свою угловую скорость φ' – на противоположную, а отклонение φ и ускорение φ'' (определяемое только отклонением φ) останется таким же. При этом произойдёт какой-то скачок «фазы» δ, с фазы начала удара δн до фазы конца удара δк
Учитывая фазу начала удара, получаем фазу окончания удара:
δк+ = –π/3 – фаза окончания удара для крутой стенки, на которой свободный маятник лежит;
δк– = –2π/3 – фаза окончания удара для отвесной стенки с возможностью вертикального провисания;
Рассмотрим первый случай крутой стенки, где фаза при ударе делает скачок от δн+ = π/3 до δк+ = –π/3 .
После скачка фазы с π/3 до –π/3 опять будет происходить обычное колебание до фазы π/3 начала следующего удара.
Есть прекрасная функция, которая монотонно растёт, а потом срывается вниз и опять проходит те же значения каждый отрезок длиной в π. Это функция тангенса. Только она растён НЕ на интервале ( –π/3 ; π/3 ), а на в 1.5 раза более широком. Ок. Сузим интервал внутеренним аргументным коэффициентом и возьмём от этого всего уже не периодический арктангенс. Тогда получится, что: δ = [2/3] arctg tg ( [3/2] ωt ), в самом деле:
От ωt=0 нуля до ωt=π/3 функция δ = [2/3] arctg tg ( [3/2] ωt ) = ωt ,
Затем происходит скачок и [2/3] arctg даёт уже значения фазы на на [2/3] π меньшие, что как раз соответствует необходимому скачку.
Тогда уравнение колебания данной системы можно записать, как:
φ+ = Φcos ( [2/3] arctg tg ( [3/2] ωt ) ) ;
Аналогично можно показать, что для отвесной стены уравнение запишется, как:
φ– = Φcos ( [4/3] arctg tg ( [3/4] ωt ) ) ;
Смотрите иллюстрацию:
Период в обоих случаях определяется внутренней периодической функцией тангенса:
ОТВЕТ:
T+ = π/([3/2]ω) = [2π/3] √[L/g] – для крутой стенки, на которой свободный маятник лежит;
T– = π/([3/4]ω) = [4π/3] √[L/g] – для отвесной стенки с возможностью вертикального провисания.
Теориялық физика — табиғатты тану үшін ондағы болып жатқан құбылыстардың математикалық моделін жасап, оны шындықпен салыстыру әдісін қолданатын физиканың бөлімі. Мұндай анықтама аясында теориялық физика табиғаттанудың жеке әдісі болып табылады. Алайда оның зерделеу аумағы жасалған тәжірибелер мен табиғатта болып жатқан құбылыстарды ескере отырып пайда болады. Басқаша айтар болсақ, теориялық физика — физикалық құбылыстарды және оларды сипаттайтын заңдарды бір-бірімен өзара байланыстыра отырып түсіндіретін жүйелі білім Математикалық физика теориялық физикаға жақын сала болып табылады, бірақ ол математикалық моделдерді математиканың қатал деңгейде зерттеп, оны табиғаттағы нақты жағдайлармен салыстырмайды.
φ = Φcosωt (Φ – начальное и максимальное значение угла отклонения) ;
φ' = –Φωsinωt ;
φ'' = –Φω²cosωt ;
В нашем случае, во время столкновения – всё пойдёт немного не так, но поскольку вне стены маятник предоставлен сам себе, а после упругого столкновения полная энергия, а значит и амплитуда колебаний сохраняется, то вне стены он будет продолжать колебаться как маятник. Уравнение движения в таком случае можно записать так:
φ = Φcosδ ;
φ' = –Φωsinδ ;
φ'' = –Φω²cosδ ;
Где внутренний гармонический параметр δ – или «фаза» будет уже зависеть от времени не просто линейно, а как-то сложнее. Разберёмся с этим.
До первого столкновения со стенкой колебание не отличается от обычного гармонического, а значит δ = ωt ;
Не указано, как сориентирована стенка, т.е. идёт ли она круто под наклоном, так что свободно мятник на ней просто лежит, или же стенка вообще отвесная, и маятник может висеть рядом с ней вертикально. Так что величина угла столкновения может быть, как Φ/2, так и –Φ/2 (для отвесной стенки):
Итак, когда грузик достигнет стены: φ = ±Φ/2, получаем:
±Φ/2 = Φcosδн ;
cosδн = ±1/2 ;
δн+ = π/3 – фаза начала удара для крутой стенки, на которой свободный маятник лежит;
δн– = 2π/3 – фаза начала удара для отвесной стенки с возможностью вертикального провисания;
После удара об стену, грузик изменит свою угловую скорость φ' – на противоположную, а отклонение φ и ускорение φ'' (определяемое только отклонением φ) останется таким же. При этом произойдёт какой-то скачок «фазы» δ, с фазы начала удара δн до фазы конца удара δк
φ(δк) = φ(δн) ;
φ'(δк)=–φ'(δн) ;
φ''(δк) = φ''(δн) ;
cosδк = cosδн ;
–sinδк = sinδн ;
–cosδк = –cosδн ;
cosδк = cos[–δн] ;
–sinδк = –sin[–δн] ;
δк = –δн ;
Учитывая фазу начала удара, получаем фазу окончания удара:
δк+ = –π/3 – фаза окончания удара для крутой стенки, на которой свободный маятник лежит;
δк– = –2π/3 – фаза окончания удара для отвесной стенки с возможностью вертикального провисания;
Рассмотрим первый случай крутой стенки, где фаза при ударе делает скачок от δн+ = π/3 до δк+ = –π/3 .
После скачка фазы с π/3 до –π/3 опять будет происходить обычное колебание до фазы π/3 начала следующего удара.
Есть прекрасная функция, которая монотонно растёт, а потом срывается вниз и опять проходит те же значения каждый отрезок длиной в π. Это функция тангенса. Только она растён НЕ на интервале ( –π/3 ; π/3 ), а на в 1.5 раза более широком. Ок. Сузим интервал внутеренним аргументным коэффициентом и возьмём от этого всего уже не периодический арктангенс. Тогда получится, что:
δ = [2/3] arctg tg ( [3/2] ωt ), в самом деле:
От ωt=0 нуля до ωt=π/3 функция δ = [2/3] arctg tg ( [3/2] ωt ) = ωt ,
Затем происходит скачок и [2/3] arctg даёт уже значения фазы на на [2/3] π меньшие, что как раз соответствует необходимому скачку.
Тогда уравнение колебания данной системы можно записать, как:
φ+ = Φcos ( [2/3] arctg tg ( [3/2] ωt ) ) ;
Аналогично можно показать, что для отвесной стены уравнение запишется, как:
φ– = Φcos ( [4/3] arctg tg ( [3/4] ωt ) ) ;
Смотрите иллюстрацию:
Период в обоих случаях определяется внутренней периодической функцией тангенса:
ОТВЕТ:
T+ = π/([3/2]ω) = [2π/3] √[L/g] – для крутой стенки, на которой свободный маятник лежит;
T– = π/([3/4]ω) = [4π/3] √[L/g] – для отвесной стенки с возможностью вертикального провисания.
Теориялық физика — табиғатты тану үшін ондағы болып жатқан құбылыстардың математикалық моделін жасап, оны шындықпен салыстыру әдісін қолданатын физиканың бөлімі. Мұндай анықтама аясында теориялық физика табиғаттанудың жеке әдісі болып табылады. Алайда оның зерделеу аумағы жасалған тәжірибелер мен табиғатта болып жатқан құбылыстарды ескере отырып пайда болады. Басқаша айтар болсақ, теориялық физика — физикалық құбылыстарды және оларды сипаттайтын заңдарды бір-бірімен өзара байланыстыра отырып түсіндіретін жүйелі білім Математикалық физика теориялық физикаға жақын сала болып табылады, бірақ ол математикалық моделдерді математиканың қатал деңгейде зерттеп, оны табиғаттағы нақты жағдайлармен салыстырмайды.