3. Вертикальный капилляр опущен в смачивающую жидкость. Уровень в жидкости в капилляре 23,5 мм, радиус кривизны мениска 0,5 мм. Найти коэффициент поверхностного натяжения. Смачивание считать полным.
Ну, давай попробуем рассуждать логически. Следи за руками, если буду мухлевать, то сразу кричи, ладно?
Первым делом заметим, что на тело на всём протяжении полёта действует единственное ускорение - g, направленное всегда вниз. Величину g примем по-школьному g = 10 м/с2. Других ускорений нет, т.к. больше нет сил, кроме силы тяжести. Следовательно, задача сводится к разложению ускорения g на составляющие, для чего необходимо как-то узнать радиус кривизны траектории в указанной точке.
Давай для начала выпишем скорости в проекциях: Vx = V * cos(a) = 30 * корень(3) / 2 = 15 * корень(3) = 25,98 м/с - горизонтальная скорость не меняется на всём протяжении полёта.
Vy = Vy0 - g*t = V * sin(a) - g*t = 30 * 0,5 - gt = 15 - 10*t м/с - вертикальная скорость меняется в течение полёта.
Теперь выпишем уравнение движения. Мне как-то привычнее использовать параметрическую форму, так проще. x = Vx * t = 25,98 * t y = Vy0 * t - g*t^2 / 2 = 15t - 5t^2 = (если угодно, то 5t*(3-t)) По ходу, видим, что тело упадёт на землю (то есть у обнулится) при t=3 c, следовательно в интересующий нас момент времени t=1c тело ещё не долетело до высшей точки траектории.
И тут мы приходим на развилку. Если бы эта задача была задана у нас, то я не знаю как находить радиус кривизны, мы этого ещё не проходили. Поэтому запилил бы программу, которая посчитала бы мне две касательные к траектории в точках чуть-чуть левее и чуть-чуть правее t=1c, например, с дельтой 0,001 с, посчитал бы их нормали, нашёл точку пересечения нормалей, и так узнал бы радиус кривизны. Но мы с тобой пойдём другим путём - налево, потому что есть ощущение, что задачка из углублёнки, следовательно можно применить грязный хак из математики. Хак заключается в том, что существует алгебраическая формула для кривизны в точке. Назовём этот параметр буквой К. Формула такая:
Тут присутствуют первая и вторая производные. Что ж, выпишем их:
x = 25,98 * t x' = 25,98 x'' = 0
y = 15t - 5t^2 y' = 15 - 10t y'' = -10
Подставим значения этих производных при t=1 в магическую формулу, и получается так: К = | 25,98 * (-10) - (-5) * 0 | / [ 25,98^2 + (-5)^2 ] ^ 1,5 = 0,0140285 1/м
Лучше проверь вычисления за мной, с калькулятором я не очень дружу. Если всё верно, то радиус кривизны R = 1 / K.
R = 1 / 0,0140285 = 71,28346 м
Самое хитрое позади. Для определения центростремительного (видимо, это у тебя имеется в виду под словом "нормальное") ускорения нам нужно узнать скорость в точке t=1 с. Нет ничего проще, уравнения скорости у нас имеются. Vx = 25,98 м/с Vy = 15 - 10 = 5 м/с V = корень ( Vx^2 + Vy^2 ) = 26,4575 м/с
Осталось последнее движение: определить а_танг как векторную разницу между g и только что найденным а_норм. Используем то обстоятельство, что нормальное и тангенциальное ускорения имеют между собой прямой угол, следовательно
Давай попробуем рассуждать логически. Представим мысленно тело, пружину, и запустим процесс колебания.
За первую четверть периода тело долетит до крайнего положения, то есть пройдёт путь А. Это 1/4 Т = 2/8 Т.
За вторую четверть оно прилетит обратно из крайнего в положение равновесия, то есть добавит ещё А. Это опять 1/4 Т = 2/8 Т.
Итого, за эти два участка тело пролетело (блин, в рифму получается - фигня какая) уже 2А, и потратило время 2/8Т + 2/8Т = 4/8 Т.
Но у тебя спрашивается 5/8Т, значит нужно добавить ещё 1/8Т. Но сколько же это будет в градусах или радианах? 1/8 периода (то есть полного круга) - это не что иное, как 45 градусов, или пи/8 - что тебе привычнее. Всё равно в чём мерить. А какую же часть амплитуды А проедет тело за 45 градусов? - дык это же А * sin(45) = А * корень(2) /2.
Складываем все три участка в кучку, и получаем: Х = А + А + А*корень(2) / 2. Для красоты я бы записал так: Х = 2А + А*корень(2)/2 = А*(2+корень(2)/2) = А*(4+корень(2)) / 2.
Ну, это если я не наврал, конечно. Ты мне, как говорится, доверяй, но проверяй. А то как бы не закралась ошибочка.
Первым делом заметим, что на тело на всём протяжении полёта действует единственное ускорение - g, направленное всегда вниз. Величину g примем по-школьному g = 10 м/с2. Других ускорений нет, т.к. больше нет сил, кроме силы тяжести. Следовательно, задача сводится к разложению ускорения g на составляющие, для чего необходимо как-то узнать радиус кривизны траектории в указанной точке.
Давай для начала выпишем скорости в проекциях:
Vx = V * cos(a) = 30 * корень(3) / 2 = 15 * корень(3) = 25,98 м/с - горизонтальная скорость не меняется на всём протяжении полёта.
Vy = Vy0 - g*t = V * sin(a) - g*t = 30 * 0,5 - gt = 15 - 10*t м/с - вертикальная скорость меняется в течение полёта.
Теперь выпишем уравнение движения. Мне как-то привычнее использовать параметрическую форму, так проще.
x = Vx * t = 25,98 * t
y = Vy0 * t - g*t^2 / 2 = 15t - 5t^2 = (если угодно, то 5t*(3-t))
По ходу, видим, что тело упадёт на землю (то есть у обнулится) при t=3 c, следовательно в интересующий нас момент времени t=1c тело ещё не долетело до высшей точки траектории.
И тут мы приходим на развилку. Если бы эта задача была задана у нас, то я не знаю как находить радиус кривизны, мы этого ещё не проходили. Поэтому запилил бы программу, которая посчитала бы мне две касательные к траектории в точках чуть-чуть левее и чуть-чуть правее t=1c, например, с дельтой 0,001 с, посчитал бы их нормали, нашёл точку пересечения нормалей, и так узнал бы радиус кривизны. Но мы с тобой пойдём другим путём - налево, потому что есть ощущение, что задачка из углублёнки, следовательно можно применить грязный хак из математики. Хак заключается в том, что существует алгебраическая формула для кривизны в точке. Назовём этот параметр буквой К. Формула такая:
К = |x' * y'' - y' * x'' | / [ (x')^2 + (y')^2 ] ^ (3/2).
Тут присутствуют первая и вторая производные. Что ж, выпишем их:
x = 25,98 * t
x' = 25,98
x'' = 0
y = 15t - 5t^2
y' = 15 - 10t
y'' = -10
Подставим значения этих производных при t=1 в магическую формулу, и получается так:
К = | 25,98 * (-10) - (-5) * 0 | / [ 25,98^2 + (-5)^2 ] ^ 1,5 = 0,0140285 1/м
Лучше проверь вычисления за мной, с калькулятором я не очень дружу. Если всё верно, то радиус кривизны R = 1 / K.
R = 1 / 0,0140285 = 71,28346 м
Самое хитрое позади. Для определения центростремительного (видимо, это у тебя имеется в виду под словом "нормальное") ускорения нам нужно узнать скорость в точке t=1 с. Нет ничего проще, уравнения скорости у нас имеются.
Vx = 25,98 м/с
Vy = 15 - 10 = 5 м/с
V = корень ( Vx^2 + Vy^2 ) = 26,4575 м/с
а_норм = V^2 / R = 26,4575 ^ 2 / 71,28346 = 9,82 м/с2
Осталось последнее движение: определить а_танг как векторную разницу между g и только что найденным а_норм. Используем то обстоятельство, что нормальное и тангенциальное ускорения имеют между собой прямой угол, следовательно
а_танг = корень( g^2 - а_норм^2) = корень(100 - 9,82^2) = 1,89 м/с2
Вроде бы всё? Потом, если не сложно, отпишись мне верное ли оказалось решение, ладно?
За первую четверть периода тело долетит до крайнего положения, то есть пройдёт путь А. Это 1/4 Т = 2/8 Т.
За вторую четверть оно прилетит обратно из крайнего в положение равновесия, то есть добавит ещё А. Это опять 1/4 Т = 2/8 Т.
Итого, за эти два участка тело пролетело (блин, в рифму получается - фигня какая) уже 2А, и потратило время 2/8Т + 2/8Т = 4/8 Т.
Но у тебя спрашивается 5/8Т, значит нужно добавить ещё 1/8Т. Но сколько же это будет в градусах или радианах? 1/8 периода (то есть полного круга) - это не что иное, как 45 градусов, или пи/8 - что тебе привычнее. Всё равно в чём мерить. А какую же часть амплитуды А проедет тело за 45 градусов? - дык это же
А * sin(45) = А * корень(2) /2.
Складываем все три участка в кучку, и получаем: Х = А + А + А*корень(2) / 2. Для красоты я бы записал так:
Х = 2А + А*корень(2)/2 = А*(2+корень(2)/2) = А*(4+корень(2)) / 2.
Ну, это если я не наврал, конечно. Ты мне, как говорится, доверяй, но проверяй. А то как бы не закралась ошибочка.