В
Все
М
Математика
А
Английский язык
Х
Химия
Э
Экономика
П
Право
И
Информатика
У
Українська мова
Қ
Қазақ тiлi
О
ОБЖ
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
У
Українська література
М
Музыка
П
Психология
А
Алгебра
Л
Литература
Б
Биология
М
МХК
О
Окружающий мир
О
Обществознание
И
История
Г
Геометрия
Ф
Французский язык
Ф
Физика
Д
Другие предметы
Р
Русский язык
Г
География
Arina8987
Arina8987
19.09.2022 08:10 •  Физика

Чому дорівнює максимальна потенціальна енерія пружини пружинного маятника, якщо амплітуда коливань становить 5 см, а частота - 6.4 Гц?. Маса тіла, піпвішеного да пружини 2 кг. Вважайте, що π2 = 10. Відповідь округлити до десятих.

Показать ответ
Ответ:
taniamishanina
taniamishanina
13.02.2020 09:29
ПЕРВЫЙ

Рассмотрим обычную гуковскую пружину длины    L \ ,    и жёсткостью    k \ ,    деформацию которой обозначим, как    l \ .    Тогда возникающая сила упругости при её деформации будет выражаться обычным законом Гука:

F = -kl \ ;

Рассмотрим некоторое состояние [1] :    F_1 = -kl_1
и некоторое состояние [2] :    F_2 = -kl_2

При вычитании этих уравнений получим, что для двух любых состояний верно, что:

F_2 - F_1 = -k ( l_2 - l_1 ) \ ;

\Delta F = -k \Delta l \ ;

Т.е. изменение силы действующей со стороны любой гуковской пружины пропорционально изменению её деформации с противоположным знаком, через её собственную жёсткость.

В нашем случае, в состоянии равновесия    z = 0    – все силы, действующие на груз, взаимно скомпенсированы. При изменении положения груза на    z 0 \ ,    (т.е. вверх), растяжение нижней пружины (down) увеличится, а значит её сила, действующая на груз вниз – тоже увеличится по модулю. В проективном виде это изменение выразится, как:

\Delta F_d = - k_d z < 0    – это символизирует увеличение отрицательной (направленной вниз) величины силы нижней пружины.

В то же время, при изменении положения груза на    z 0 \ ,    (вверх), растяжение верхней пружины (up) уменьшится, а значит её сила, действующая на груз вверх – тоже уменьшится по модулю. В проективном виде это изменение выразится, как:

\Delta F_u = - k_u z < 0    – это символизирует уменьшение  положительной (направленной вверх) величины силы верхней пружины.

Общее изменение силы составит (сила тяжести не изменится):

\Delta F = \Delta F_d + \Delta F_u = - ( k_d + k_u ) z \ ;

При этом, поскольку в начальном состоянии действие всех сил было скомпенсировано, т.е. равнодействующая была равна нулю, то, стало быть, при смещении груза на    z \ ,    общая сила, действующая со стороны системы пружин – будет как раз и равна изменению действующих сил:

F = - ( k_d + k_u ) z \ ;
(рассуждения для отрицательного смещения производятся аналогично)

А такая зависимость силы от смещения – эквивалентна системе груза и одной пружины с жёсткостью, равной сумме исходных жёсткостей. Стало быть:

T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_d + k_u } } \ ,    где    m    –  масса шарика.

\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k_d + k_u }{m} } \ .

ВТОРОЙ

Пусть начальные растяжения пружин:    l_d   (нижней), и    l_u   (верхней). При этом положим вертикальное положение груза    z = 0 \ .    Ось    Oz    направлена вверх.

Запишем закон сохранения энергии для произвольного положения груза:

\frac{mv^2}{2} + mgz + \frac{k_d}{2} ( l_d + z )^2 + \frac{k_u}{2} ( l_u - z )^2 = const \ ;

Продифференцируем уравнение по времени:

mvv'_t + mgz'_t + k_d ( l_d + z ) z'_t - k_u ( l_u - z ) z'_t = 0 \ ; \ \ \ \ || : z'_t

mv'_t + mg + k_d ( z + l_d ) + k_u ( z - l_u ) = 0 \ ;

mz''_t = k_u l_u - k_d l_d - mg -( k_d + k_u )z \ ;

Заметим, что в начальном положении, действие всех сил скомпенсировано:

k_u l_u - k_d l_d - mg = 0 \ ;
(сила только верхней пружины положительна, т.к. направлена вверх)

Итак:

mz''_t = -( k_d + k_u )z \ ;

А такая зависимость силы от смещения – эквивалентна системе груза и одной пружины с жёсткостью, равной сумме исходных жёсткостей. Стало быть:

T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_d + k_u } } \ ,    где    m    –  масса шарика.

\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k_d + k_u }{m} } \ .

ТРЕТИЙ

Зафиксируем груз. Демонтируем нижнюю пружину. Прикрепим нижнюю пружину тоже свреху (!) груза, закрепив её на таком вертикальном расстоянии от груза, чтобы при отпускании груза – он остался бы в равновесии.

Сборка окажется эквивалентной, поскольку изначально верхняя пружина будет работать, как прежде. А перемещённая пружина при поднятии груза будет толкать груз вниз с таким же коэффициентом упругости, с которым она тянула бы его вниз, будучи снизу. С противоположным смещением – то же самое.

Обе пружины при такой эквивалентной сборке будут работать в параллельном режиме, как хорошо известно, с суммарной жёсткостью:

Итак:

F = -( k_d + k_u )z \ ;

T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_d + k_u } } \ ,    где    m    –  масса шарика.

\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k_d + k_u }{m} } \ .

ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЁТ :::

1   Н/см   = 100   Н   : 100   см   = 100   Н   : 1   м   = 100   Н/м ;

3   Н/см   = 300   Н   : 100   см   = 300   Н   : 1   м   = 300   Н/м ;

Допустим, масса шарика равна 1 кг. Тогда:

T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_d + k_u } } \approx 2 \pi \sqrt{ \frac{1}{ 300 + 100 } } \approx 0.314   сек ;

\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k_d + k_u }{m} } \approx \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ 300 + 100 }{1} } \approx 3.18    Гц .
0,0(0 оценок)
Ответ:
saha299
saha299
13.01.2020 17:51
На більшій частині узбережжя двічі на добу з добре передбачуваною періодичністю відбувається підйом і подальше опускання рівня моря. Протягом трохи більше шести годин море наступає, а потім такий же час відступає.
Приливи і відливи викликаються тяжінням Місяця і, щонайменше, більш віддаленим від нас Сонцем. Унаслідок їх впливу в океані виникає приливний горб, причому через існування відцентрової сили, зумовленої обертанням Землі, відповідний виступ з’являється і на протилежній стороні земної кулі.
Коли приливний горб переміщується у бік берега, рівень води підіймається, а потім море знов відступає.
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Физика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота