Цилиндрический пучок лучей, радиусом 5 см, падает на собирающую линзу параллельно ее главной оптической оси. После прохождения линзы пучок создает на экране, который размещен между линзой и фокусом, круг, радиус которого 3 см. Круг какого радиуса возникнет на этом экране, если собирающую линзу заменить рассеивающей с тем же самым фокусным расстоянием?
Решение задач
на тонкие линзы
А.ЧЕРНОУЦАН
Д
ЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ТОНКИМИ ЛИНЗАМИ НАДО
знать совсем немного. Напомним их основные свойства.
1) Характер линзы зависит от радиусов образующих ее
сферических поверхностей и от показателя преломления
материала линзы относительно окружающей среды
n n n = л ср . При n > 1 двояковыпуклая и плосковыпуклая
линзы – собирающие, двояковогнутая и плосковогнутая
линзы – рассеивающие; при n < 1 – наоборот. Эти утверждения следуют из формулы для фокусного расстояния F:
( )
1 2
1 1 1
n 1
F R R
Ê ˆ
= - + Á ˜ Ë ¯ ,
где радиус выпуклой поверхности считается положительным, а радиус вогнутой – отрицательным. Если F положительно, то линза собирающая, в противном случае – рассеивающая. Эту формулу знать полезно, но необязательно.
Пример 1 (ЕГЭ). Из очень тонких одинаковых сферических стеклянных сегментов изготовлены линзы, представленные на рисунке 1. Если показатель преломления глицерина больше, чем показатель преломления воды, то собирающая линза представлена на рисунке: 1); 2); 3); 4).
(ответ: 4).)
2) Для решения задач полезно знать ход основных лучей.
а) Лучи, идущие через оптический центр линзы, не испытывают отклонения.
б) Лучи, падающие параллельно главной оптической оси
(рис.2), сходятся в фокусе, лежащем за линзой – в случае
собирающей линзы, или расходятся из фокуса, лежащего
перед линзой – в случае рассеивающей линзы.
в) Обратное утверждение линзу луч пойдет
параллельно ее главной оптической оси, если линия его
падения проходит через фокус собирающей линзы, лежащий
перед линзой, или через фокус рассеивающей линзы, лежащий за линзой (рис.3).
Пример 2. На собирающую линзу с фокусным расстоянием F1
= 17 см падает пучок света, параллельный ее главной
оптической оси. На каком расстоянии от этой линзы
нужно поставить рассеивающую линзу с фокусным расстоянием
F2
= 0,09 м, чтобы
пучок, пройдя обе линзы, остался параллельным?
(ответ: 1 2 l F F = - =
= 8 см; см. рис.4.)
г) Лучи, идущие параллельно друг другу, но не параллельно главной оптической оси (рис.5), собираются в точке
фокальной плоскости, расположенной за линзой (собирающая линза), или расходятся из точки фокальной плоскости,
расположенной перед линзой (рассеивающая линза).
Пример 3. Постройте ход произвольного луча после
прохождения собирающей (рассеивающей) линзы.
(ответ: см. рис.6; пунктиром показан вс
луч.)
3)Формула тонкой
линзы. Точечным источником обычно называют светящуюся
точку, испускающую
световые лучи в сторону линзы. Более общее определение: источник – это точка
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
пересечения лучей, падающих на линзу (такое определение
позволяет вводить в рассмотрение мнимые источники; см.
рис.7). Изображением точечного источника называют точку пересечения лучей линзу. Расстояния от
источника до линзы d, от изображения до линзы f и фокусное
расстояние F связаны соотношением
1 1 1 D
d f F
+ = = , (1)
где D – оптическая сила линзы, выражается в диоптриях,
1 дптр = 1/м. При применении формулы тонкой линзы (1)
надо пользоваться следующими правилами знаков:
а) F и D положительны для собирающей линзы (действительный фокус) и отрицательны для рассеивающей линзы
(мнимый фокус);
б) f > 0 для действительного изображения, f < 0 для
мнимого изображения.
в) d > 0 для действительного источника, d < 0 для мнимого
источника.
Замечание. При решении задач удобнее считать f, d и F
положительными, а знаки учитывать в явном виде. Тогда
формула (1) принимает вид
± ± = ± = 1 1 1 D
d f F (2)
(оптическая сила D может быть как положительной, так и
отрицательной).
Пример 4. На линзу падает сходящийся пучок лучей.
После прохождения через линзу лучи пересекаются в точке,
лежащей на расстоянии 15 см от линзы. Если линзу убрать, то точка пересечения лучей переместится на 5 см
ближе к линзе. Определите фокусное расстояние линзы.
В этом случае формула (2) принимает вид
1 1 1
d f F
- + = ,
где d = 10 см (мнимый источник), f = 15 см (действительное
изображение). Получаем F = –30 см. Поскольку тип линзы
не был задан, то правую часть формулы мы написали с
плюсом, а по знаку ответа установили, что линза рассеивающая.
4) Увеличение линзы. Увеличением линзы (точнее –
линейным увеличением, поскольку есть еще и угловое)
называется отношение линейных размеров изображения к
линейным размерам предмета. Для поперечного увеличения,
т.е. для размеров в направлении, перпендикулярном главной
оптической оси, верна формула
H f
h d
Γ = = , (3)
которая следует из подобия соответствующих треугольников
(рис.8). Отметим, что если пользоваться формулой линзы в
форме (1), то формулу
(3) надо писать с модулями, что неудобно, или
вводить отрицательное Γ
для случая прямого (не
перевернутого) изображения, т.е. когда источник и изображение находятся по одну сторону от
линзы (например, действительный источник и мнимое изображение). Такой подход возможен, но он слишком формален и чреват ошибками.
Поэтому мы будем пользоваться формулами (2), (3).