"Энергия көздері" тақырыбына синквейнӨтінем​

Могут быть ошибки, поэтому советую проверить)
Сначала выбегает Винни пух. А через пол часа - ослик.
За 10 минут(или 1/6 часа) он развил скорость, равную скорости Винни пуха.
То есть к 30 минутам прибавляем 10 минут и получаем 40 минут, то есть то время, за которое Винни пух набрал скорость 2/3a₁. По условию, Именно эту скорость развил ослик за 10 мин. Теперь можно найти ускорение a₂ ослика: (2/3a₁)/(1/6 ч) = 4a₁. То есть ускорение ослика в 4 раза больше ускорения Винни пуха.
Ослик догонит Винни пуха тогда, когда пути пройденные ими обоими сравняются, то есть 4a₁t²/2 = a₁t²/2 + 0,5²a₁/2 ( выражение 0,5²a₁/2 - это тот путь, который Винни пух, когда ослик еще не стартовал)
Получаем: 4a₁t² = a₁t²+0,25a₁;
4a₁t² = a₁(t²+0,25)
a₁ никакого вклада не вносит, поэтому сокращаем его:
4t² = t²+0,25
3t² = 0,25
t² = 1/12
t ≈ 0,29 ч
Или, что примерно равно, 17 минут

1)

Запишем законы:
сохранения испульса ЗСИ,
сохранения энергии ЗСЭ
и сохранения момента импульса ЗСМИ :

mvo = mv + MV     – ЗСИ, где vo, v и V – начальная скорость шарика и конечные скорости шарика и центра масс стержня;

mvo²/2 = mv²/2 + MV²/2 + Jω²/2     – ЗСЭ, где ω – угловая скорость вращения стержня с моментом инерции J = ML²/12  ;

mrvo = mrv + Jω     – ЗСМИ , где r – расстояние от середины стержня до точки удара;

Из ЗСМИ и ЗСМ:

MV = Jω/r ;

M²V² = J²ω²/r² ;

MV² = J²ω²/[Mr²] ;

Тогда можно переписать ЗСЭ и ЗСМИ так:

m ( vo² – v² ) = Jω² ( 1 + J/[Mr²] ) ;     ЗСЭ *

m ( vo – v ) = Jω/r ;     ЗСМИ *

Разделим:

vo + v = ωr ( 1 + J/[Mr²] ) ;    || * m

Сложим с ЗСМИ * :

2mvo = mωr ( 1 + J/[Mr²] ) + Jω/r = ω ( mr ( 1 + J/[Mr²] ) + J/r ) =
= ω ( mr + ( 1 + m/M )J/r ) = ω ( mr + (M+m)L²/[12r] ) ;

ω(r) = 2vo/[ r + (1+M/m)L²/(12r) ] ;

Найдём экстремум ω(r) , решив уравнение: dω/dr = 0 ;

dω/dr = 2vo ( (1+M/m)L²/[12r²] – 1 ) / ( r + (1+M/m)L²/[12r] )² = 0 ;

Ясно, что при r² < (1+M/m)L²/12    :     ω(r) – растёт, а затем – падает.

Итак: r(ωmax) = L/2 √[(1+M/m)/3] ) ;

Что верно пока соотношения масс M ≤ 2m, и если M=2m то r(ωmax) = L/2,
т.е. шарик при таком соотношени должен попасть в конец стержня.

Если же M > 2m, то, пскольку r не может быть больше L/2, то
значит, r(ωmax) = L/2 ;

ОТВЕТ:

Если M ≤ 2m, то r(ωmax) = L/2 √[(1+M/m)/3] ) ;

Если M ≥ 2m, то r(ωmax) = L/2 ;

2)

Из полученного импульса p легко найти скорость центра масс:

p = mv;

v = p/m ;

Уравнение движения центра масс S(t) = vt = [p/m] t ;     [1]

Стержень получает момент импульса относительно центар масс – pL/2, откуда легко найти угловую скорость ω :

pL/2 = Jω     – где J = mL²/12 – момент инерции стержня относительно центра масс ;

ω = pL/[2J] = 6p/[mL] ;

Уравнение вращения φ(t) = ωt = [6p/mL] t ;     [2]

Делим [1] на [2] и получаем:

S(t)/φ(t) = [p/m]/[6p/mL] = L/6 ;

S(φ) = Lφ/6 ;

При полном обороте φ = 2π ;

S(2π) = πL/3 ;

ОТВЕТ: S(2π) = [π/3] L .