При решении задачи мы пренебрегаем массой чаши и пружины. Высота, с которой тело падает, на самом деле не h, а (h + L), где L - это длина пружины. Но пружина не может сжаться так, чтобы материально исчезнуть - она не может сжаться на всю свою длину. Она сожмётся на длину х. Тогда и возьмём в качестве нулевого потенциала тела ту точку, в которой пружина сожмётся на длину х. Тогда высота, с которой тело падает, будет равна (h + x). Теперь проанализируем превращения энергии. Силы трения воздуха не берём в расчёт. В начале тело обладает механической энергией, которая равна потенциальной энергии Еп:
Е = Еп = mg(h + x)
По закону сохранения механическая энергия остаётся неизменной. Когда тело касается чаши, оно обладает потенциальной энергией Еп' и кинетической энергией Ек, что в сумме даёт механическую энергию Е:
Е' = Еп' + Ек = mgx + mυ²/2
Нетрудно догадаться, что кинетическая энергия будет равна потенциальной при высоте h (разности Еп и Еп'):
Т.к. Е = Е', то:
mg(h + x) = mgx + mυ²/2
mgh + mgx = mgx + mυ²/2 | + (-mgx)
mgh = mυ²/2 => Eк = Еп - Еп'
Тогда механичесая энергия тела в момент его падения на чашу равна:
Е' = mgx + mgh
Эта энергия по мере движения тела до нулевого потенциала превращается в потенциальную энергию пружины Wп:
Е' = Wп
Wп = kx²/2 => mgx + mgh = kx²/2 - отнимаем от обеих частей уравнения значение потенциальной энергии пружины и решаем квадратное уравнение через дискриминант:
Второй корень получается бессмысленным, т.к. разность (mg - √(mg*(mg + 2kh))) получается отрицательной, ведь если представить, что mg = 1, то получится (1 - √(1*(1 + 2kh))) = 1 - 1*√(1 + 2kh) - из единицы вычитаем число, гораздо большее единицы, учитывая, что k и h > 1. Результат выходит отрицательным, а отрицательное значение x противоречит нашему уравнению для механической энергии - общая высота (h + x) не может быть < h. Значит, берём первый корень:
x = (mg + √(mg*(mg + 2kh))) : k
Но это не амплитуда колебаний. Амплитуда колебаний тела - это максимальное отклонение тела от положения равновесия. А положение равновесия тела будет при условии, что сила упругости равна весу тела:
Fупр = Р, т.е.:
kΔx = mg - таким образом, положение равновесия определяется сжатием пружины на определённую длину Δх. А ведь тело падало на пружину, которая находилась в свободном состоянии. Значит найденный корень - это не амплитуда. Тогда, если при падении тела пружина от свободного состояния сжалась на длину x, а при равновесии она сжимается на длину Δх, то надо просто отнять второе от первого - разность (x - Δx) и будет являться амплитудой:
Можно получить такой же результат по-другому - через теорему об изменении кинетической энергии (сумма работ всех действующих сил на тело или систему тел равна изменению кинетической энергии тела или системы тел). За нулевой потенциал возьмём чашу пружины, тогда механическая энергия тела будет равна его потенциальной на высоте h. При падении тело будет иметь только кинетическую энергию, т.е.:
Е = Еп, но т.к. потенциальная перетекает в кинетическую, то Е' = Ек, а т.к. по закону сохранения энергии Е = Е', то Еп = Ек.
Ну а дальше кинетическая энергия изменяется до нуля, а изменяют её средняя сила упругости, работа которой отрицательна и равна:
A1 = Fупр(cp)*s = -(kx1 + kx2)/2*(x2 - x1) = -(k/2)*(x2 + x1)*(x2 - x1) = -(k/2)*(x2² - x1²), т.к. x1 = 0 (в этой точке сила ещё не совершала работы), то x2 = x и => А1 = -kx²/2,
и сила тяжести, работа которой положительна и равна:
А2 = mg*(x2 - x1) = mgx
Тогда выходит:
ΣА = ΔЕк = Ек2 - Ек1 = 0 - Ек1 = - Ек1
ΣA = A1 + A2 = -kx²/2 + mgx
Ек1 = Ек = Еп = mgh =>
=> -kx²/2 + mgx = - mgh
-kx²/2 + mgx + mgh = 0 | *(-1)
kx²/2 - mgx - mgh = 0 - то же самое квадратное уравнение.
21 век невозможно представить без алюминия. «Крылатый» металл стал неотъемлемой частью жизни каждого человека нашей планеты. Пользование транспортом, гаджетами, бытовыми приборами стало обыденным в нашей жизни. Алюминий стал важнейшим элементом архитектуры, строительства, автомобилестроения - благодаря лёгкости, надёжности и эстетичности.
Только представьте себе, в 2015 году производство алюминия достигло рекордных показателей в 57,81 млн. тонн. А что с экологией производства металла 21 века?
Крупнейший производитель алюминия в мире – РУСАЛ – выпускает более 85% своей продукции с использованием самой экологически чистой и возобновляемой – гидроэлектроэнергии, выработка которой полностью исключает вредные выбросы. Например, заводы изготовители Китайской народной республики используют электроэнергию теплоэлектростанций, которые работают на твёрдом топливе, принося колоссальный вред окружающей среде. Производство одной тонны алюминия с использованием такой энергии загрязняет атмосферу земли 115 граммами парниковых газов.
Ещё не маловажным положительным эко фактом является и то, что алюминий – самый часто перерабатываемый материал, что позволяет при вторичной переплавке алюминия снизить энергозатраты до 95%, тем самым сократить выбросы углекислого газа в атмосферу. Алюминий поддаётся стопроцентной переработке, не утрачивая при этом своих уникальных свойств. Перерабатывать алюминий можно бесконечно, около 75% алюминия, выпущенного за всё время существования отрасли, используется и сегодня. Переработка алюминиевых ломов требует всего 5% от объёма энергии, необходимого для его производства из глинозёма, а объём выбросов парниковых газов при производстве вторичного алюминия составляет 5% от количества выбросов при выпуске первичного алюминия. Сегодня производство вторичного алюминия занимает около 30% от общего объёма выпускаемого металла, и его доля продолжает ежегодный рост.
Промышленное применение алюминия позволяет улучшить глобальную экологическую ситуацию. Благодаря лёгкости алюминия, его использование в автомобилестроении позволяет существенно уменьшить вес транспортного средства, таким образом, снизив потребность машины в топливе и объём выбросов вредных веществ при её эксплуатации. Десятипроцентное снижение веса транспортного средства повышает его энергоэффективность на 8%. Только представьте себе, что каждые 100 кг. алюминия экономят до 1000 литров бензина на 200 000 км. пробега.
Дано:
m = 300 г = 0,3 кг
h = 1,5 м
k = 100 Н/м
g = 10 м/с²
A - ?
При решении задачи мы пренебрегаем массой чаши и пружины. Высота, с которой тело падает, на самом деле не h, а (h + L), где L - это длина пружины. Но пружина не может сжаться так, чтобы материально исчезнуть - она не может сжаться на всю свою длину. Она сожмётся на длину х. Тогда и возьмём в качестве нулевого потенциала тела ту точку, в которой пружина сожмётся на длину х. Тогда высота, с которой тело падает, будет равна (h + x). Теперь проанализируем превращения энергии. Силы трения воздуха не берём в расчёт. В начале тело обладает механической энергией, которая равна потенциальной энергии Еп:
Е = Еп = mg(h + x)
По закону сохранения механическая энергия остаётся неизменной. Когда тело касается чаши, оно обладает потенциальной энергией Еп' и кинетической энергией Ек, что в сумме даёт механическую энергию Е:
Е' = Еп' + Ек = mgx + mυ²/2
Нетрудно догадаться, что кинетическая энергия будет равна потенциальной при высоте h (разности Еп и Еп'):
Т.к. Е = Е', то:
mg(h + x) = mgx + mυ²/2
mgh + mgx = mgx + mυ²/2 | + (-mgx)
mgh = mυ²/2 => Eк = Еп - Еп'
Тогда механичесая энергия тела в момент его падения на чашу равна:
Е' = mgx + mgh
Эта энергия по мере движения тела до нулевого потенциала превращается в потенциальную энергию пружины Wп:
Е' = Wп
Wп = kx²/2 => mgx + mgh = kx²/2 - отнимаем от обеих частей уравнения значение потенциальной энергии пружины и решаем квадратное уравнение через дискриминант:
-kx²/2 + mgx + mgh = 0 | *(-1)
kx²/2 - mgx - mgh = 0
(k/2)*x² - mg*x - mgh = 0
D = b² - 4ac = (-mg)² - 4*(k/2)*(-mgh) = m²g² + 2kmgh = mg*(mg + 2kh)
x = (-b+/-√D) : (2a)
x1 = (mg + √(mg*(mg + 2kh))) : (2*(k/2)) = (mg + √(mg*(mg + 2kh))) : k
Второй корень получается бессмысленным, т.к. разность (mg - √(mg*(mg + 2kh))) получается отрицательной, ведь если представить, что mg = 1, то получится (1 - √(1*(1 + 2kh))) = 1 - 1*√(1 + 2kh) - из единицы вычитаем число, гораздо большее единицы, учитывая, что k и h > 1. Результат выходит отрицательным, а отрицательное значение x противоречит нашему уравнению для механической энергии - общая высота (h + x) не может быть < h. Значит, берём первый корень:
x = (mg + √(mg*(mg + 2kh))) : k
Но это не амплитуда колебаний. Амплитуда колебаний тела - это максимальное отклонение тела от положения равновесия. А положение равновесия тела будет при условии, что сила упругости равна весу тела:
Fупр = Р, т.е.:
kΔx = mg - таким образом, положение равновесия определяется сжатием пружины на определённую длину Δх. А ведь тело падало на пружину, которая находилась в свободном состоянии. Значит найденный корень - это не амплитуда. Тогда, если при падении тела пружина от свободного состояния сжалась на длину x, а при равновесии она сжимается на длину Δх, то надо просто отнять второе от первого - разность (x - Δx) и будет являться амплитудой:
kΔx = mg => Δx = mg/k
А = x - Δx = ((mg + √(mg*(mg + 2kh))) : k) - mg/k = mg/k + (√(mg*(mg + 2kh)))/k - mg/k = √(mg*(mg + 2kh))/k = √(m²g² + 2mgkh)/k = √(0,3²*10² + 2*0,3*10*100*1,5)/100 = √909/100 = 0,301496... = приблизительно 30,15 см
Можно получить такой же результат по-другому - через теорему об изменении кинетической энергии (сумма работ всех действующих сил на тело или систему тел равна изменению кинетической энергии тела или системы тел). За нулевой потенциал возьмём чашу пружины, тогда механическая энергия тела будет равна его потенциальной на высоте h. При падении тело будет иметь только кинетическую энергию, т.е.:
Е = Еп, но т.к. потенциальная перетекает в кинетическую, то Е' = Ек, а т.к. по закону сохранения энергии Е = Е', то Еп = Ек.
Ну а дальше кинетическая энергия изменяется до нуля, а изменяют её средняя сила упругости, работа которой отрицательна и равна:
A1 = Fупр(cp)*s = -(kx1 + kx2)/2*(x2 - x1) = -(k/2)*(x2 + x1)*(x2 - x1) = -(k/2)*(x2² - x1²), т.к. x1 = 0 (в этой точке сила ещё не совершала работы), то x2 = x и => А1 = -kx²/2,
и сила тяжести, работа которой положительна и равна:
А2 = mg*(x2 - x1) = mgx
Тогда выходит:
ΣА = ΔЕк = Ек2 - Ек1 = 0 - Ек1 = - Ек1
ΣA = A1 + A2 = -kx²/2 + mgx
Ек1 = Ек = Еп = mgh =>
=> -kx²/2 + mgx = - mgh
-kx²/2 + mgx + mgh = 0 | *(-1)
kx²/2 - mgx - mgh = 0 - то же самое квадратное уравнение.
ответ: приблизительно 30,15 см.
21 век невозможно представить без алюминия. «Крылатый» металл стал неотъемлемой частью жизни каждого человека нашей планеты. Пользование транспортом, гаджетами, бытовыми приборами стало обыденным в нашей жизни. Алюминий стал важнейшим элементом архитектуры, строительства, автомобилестроения - благодаря лёгкости, надёжности и эстетичности.
Только представьте себе, в 2015 году производство алюминия достигло рекордных показателей в 57,81 млн. тонн. А что с экологией производства металла 21 века?
Крупнейший производитель алюминия в мире – РУСАЛ – выпускает более 85% своей продукции с использованием самой экологически чистой и возобновляемой – гидроэлектроэнергии, выработка которой полностью исключает вредные выбросы. Например, заводы изготовители Китайской народной республики используют электроэнергию теплоэлектростанций, которые работают на твёрдом топливе, принося колоссальный вред окружающей среде. Производство одной тонны алюминия с использованием такой энергии загрязняет атмосферу земли 115 граммами парниковых газов.
Ещё не маловажным положительным эко фактом является и то, что алюминий – самый часто перерабатываемый материал, что позволяет при вторичной переплавке алюминия снизить энергозатраты до 95%, тем самым сократить выбросы углекислого газа в атмосферу. Алюминий поддаётся стопроцентной переработке, не утрачивая при этом своих уникальных свойств. Перерабатывать алюминий можно бесконечно, около 75% алюминия, выпущенного за всё время существования отрасли, используется и сегодня. Переработка алюминиевых ломов требует всего 5% от объёма энергии, необходимого для его производства из глинозёма, а объём выбросов парниковых газов при производстве вторичного алюминия составляет 5% от количества выбросов при выпуске первичного алюминия. Сегодня производство вторичного алюминия занимает около 30% от общего объёма выпускаемого металла, и его доля продолжает ежегодный рост.
Промышленное применение алюминия позволяет улучшить глобальную экологическую ситуацию. Благодаря лёгкости алюминия, его использование в автомобилестроении позволяет существенно уменьшить вес транспортного средства, таким образом, снизив потребность машины в топливе и объём выбросов вредных веществ при её эксплуатации. Десятипроцентное снижение веса транспортного средства повышает его энергоэффективность на 8%. Только представьте себе, что каждые 100 кг. алюминия экономят до 1000 литров бензина на 200 000 км. пробега.