Мальчик умеет плавать со скоростью 0,6 от скорости течения реки. он хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. на какое расстояние его снесет, если он будет придерживаться оптимальной стратегии? ширина реки 120 м.
(качественный анализ)
Так как скорость мальчика составляет долю 0,6 от скорости течения реки, то перемещение мальчика не может быть направлено перпендикулярно течению реки. В этом можно убедится, сделав следующие построения. Обозначим скорость течения u (на рисунке направлена горизонтально, 5 клеточек), скорость мальчика относительно реки обозначи v₀ (v₀=nu, по условию задачи n=0,6; однако стоит отметить, что в конце задачи получим формулу для решения любого n, при условии, что 0<n≤1) (v₀ возьмем за 3 клеточки). Чтобы найти вектор направления скорости мальчика относительно берега V, нам надо знать точку конца этого вектора. Для этого из конца вектора u проведем окружность радиуса v₀. Обращаем внимание, что если провести касательную АВ (см. рис.), то, т.к. вектор перемещения сонаправлен с вектором скорости V, то расстояние, на которое снесет мальчика ΔX=BC окажется наименьшим при данной скорости относительно реки v₀ (это и есть оптимальная стратегия!). Итак, мы получили прямоугольный треугольник АВС, в котором ΔX=BC (смещение, которое нужно найти), L=AC (ширина реки, по условию 120 м) и AB (перемещение мальчика относительно берега),
1. Введем прямоугольную систему координат. Ось Оу направлена перпендикулярно течению, Ох - вдоль реки.
2. Мальчик участвует в двух движениях одновременно: он перемещается вдоль берега (Ох) со скоростью V*cosα = u - v₀*cosα, и он плывет перпендикулярно течению (Оу) со скоростью v₀*sinα.
Пусть время t - время за которое мальчик переплывет реку. Так как он плывет равномерно прямолинейно, то согласно законам кинематики:
ΔX=(u-v₀*cosα)t (1)
L=v₀*sinα*t (2)
3. Так как направление скорости V совпадает с касательной, то по св-ву касательной вектор V перпендикулярен вектору v₀. Таким образом u*cosα=v₀.
С другой стороны v₀=nu, значит cosα=n, согласно осн. тригонометрическому тождеству: sinα=√1-
4. Из равенств 1 и 2 следует, что:
((u-v₀*cosα)*L) / (v₀*sinα)=ΔX
И в итоге:
ΔX = (L/n) * √
В нашем случае:
ΔX = 160 м
Напоминаю, что полученная формула справедлива для любого 0<n≤1
ответ: 160 м