Может ли быть так, чтобы сила натяжения была равна нулю? ​

Работа за интервал времени определяется как:
А=А(t2)-A(t1)             (1)
Работа за любое время определяется как:
А=F*s                       (2)
Согласно второму закону Ньютона:
F=m*a                       (3)
Выпишем основные уравнения кинематики прямолинейного движения:
V=V0+a*t                   (4)
S=S0+V0*t+a*t*t/2      (5)

Тогда:
сопоставляя исходное уравнение x(t)=2*t*t+4*t+1 c уравнением (5), находим что: 
S0=1
V0=4
a=4                             (6)
Найдём пройденный путь за данные промежутки времени:
х(10)=1+40+2*100=241 (7)
х(2)=1+8+8=17             (8)

Тогда:
согласно (3), (6):
F=1*4=4 H
cогласно (2), (7), (8):
А(10)=4*241=964 Дж
А(2)=4*17=68 Дж
согласно (1)
А=964-68=896 Дж

Средняя скорость определяется делением ВСЕГО расстояния на ВСЁ время пути.
С движением связаны формулы
v=S:t
S=vt
t=S:v
Есть  формула для нахождения средней скорости при  движении с разной скоростью  на разных участках пути.
Мы её можем вывести, решая данную задачу.
Пусть половина расстояния будет 1.
Тогда время, за которое тело каждую половину этого расстояния, будет 
t₁=1:v₁
и
t₂=1:v₂
Сложив эти величины, найдем всё время движения:
 1/v₁+1/v₂=(v₂+v₁):v₁*v₂
Весь путь 1+1=2 
Найдем среднюю скорость - делим весь путь на всё время:
2:{(v₂+v₁):v₁*v₂}
 v=2*v₁*v₂:(v₂+v₁) - средняя скорость.

Формула подходит и для движения с равной скоростью на разных участках пути.  В итоге получится v=v