На нитці завдовжки 4 метри висить кулька, на який кут від вертикалі треба відхилити нитку з кулькою, щоб при русі кульки вниз, в момент проходження нею положення рівноваги сила натягу нитки у два рази перевищувала силу тяжіння

Пояснение к решению: я буду жирным шрифтом выделять векторы.

По второму закону Ньютона ускорение тела a прямо пропорционально равнодействующей всех внешних сил F, действующих на тело, и обратно пропорционально массе m этого тела:
a = F / m

Равнодействующая этих двух сил F равна векторной сумме сил F₁ и F₂. Прикреплю рисунок, который поясняет, как её найти.

Модуль равнодействующей определим по теореме Пифагора:
F = √((F₁)² + (F₂)²)
F = √((12 Н)² + (5 Н)²)
F = √(169 Н²)
F = 13 Н

Тогда модуль ускорения тела:
a = F / m
a = 13 Н / 2 кг
a = 6,5 м/с²
При этом вектор ускорения a (тоже его показал на рисунке) сонаправлен с вектором равнодействующей F.

Балка лежит на двух опорах без двигателя 
Тогда сумма реакций опор = силе тяжести самой балки
N1+N2=mb*g=180*9,8=1764 H
Так как балка однородна и лежит концами на опорах, то N1=N2
N1=N2=mb*g/2=1764/2=882 Н
Рассмотрим случай с двигателем без учета веса самой балки.
Реакция опоры левой балки
N1     плече L1=4-1.5=2.5 м
правой
N2     плече L2=1.5 м
Составим Систему уравнений
N1*L1=N2*L2
N1+N2=md*g=280*9,8=2744   =>N1=2744-N2
Подставим в первое уравнение вместо N1
2744*L1-N2*L1=N2*L2
2744*L1=N2*(L2+L1)
2744*2.5=N2*(2.5+1.5)
N2=2744*2.5/4=1715 Ньютонов
теперь прибавим реакцию на балку и получим полную реакцию опоры правой балки 
N22=1715+882=2597,0  Ньютонов.