Рассмотрим случай вращения твердого тела вокруг некоторой произвольной оси 00, (рис. 5.5). Вектор полного момента импульса L тела относительно неподвижной точки на оси вращения в общем случае не параллелен вектору угловой скорости о) и вычисляется согласно определению (4.36):
где ?j и V/ — радиус-вектор и скорость /-й частицы тела относительно полюса — некоторой точки О на рис. 5.5. Используем тот факт, что в системе координат, связанной с телом, составляющие вектора постоянны и скорость vi определяется как й,=1со,/*] согласно (2.20).
Тогда выражение (5.16) можно записать в виде
Отсюда проекция момента импульса на ось Xнеподвижной декартовой системы координат с началом в точке О определяется как линейная функция составляющих вектора угловой скорости со:
Аналогично вычисляются две другие проекции вектора L :
Введенные здесь девять коэффициентов 1тп (т, п — х, у, z) образуют квадратную матрицу, которая преобразуется как тензор второго порядка и называется тензором инерции (тензором момента инерции):
Диагональные компоненты тензора инерции — коэффициенты 7^, 7 , /_. — это моменты инерции тела относительно осей X, У и Z. Недиагональные компоненты тензора (5.17) называются центробежными моментами инерции тела. Поскольку / = 7 , Ixz = /,х и / = I , то тензор инерции является симметричным. В случае, когда масса т твердого тела непрерывно распределена по его объему, , 7 , Iопределяются по формулам (5.6а)—(5.6в). При этом центробежные моменты инерции будут определяться так:
Как известно, любой симметричный тензор или матрицу можно диаго- нализировать, т.е. для любого тела можно выбрать три такие взаимно перпендикулярные оси X, У, Z, для которых все недиагональные компоненты равны нулю и тензор инерции принимает вид
Такие оси являются главными осями инерции тела, а сохранившиеся диагональные компоненты тензора инерции — это главные моменты инерции. Тогда проекции момента импульса на главные оси инерции имеют вид
Как следует из полученных формул, даже в этом случае вектор Z не совпадает с вектором со по направлению.
Таким образом, тензор инерции любого тела зависит от точки, относительно которой он рассчитан. Когда ось вращения твердого тела закреплена и совпадает с одной из осей координат, например с осью Z, то вектор угловой скорости направлен по оси Z (соЛ. =cov, =0 и со. — со) и Т. = /„со=/со. Однако если ось вращения твердого тела не закреплена, то ее нельзя считать все время направленной вдоль фиксированной оси Z и необходимо вычислять все компоненты тензора инерции.
На вращающийся круг устанавливаем металлическое ведро. В него опускаем небольшой контейнер. Затем в контейнер наливаем жидкость для возгорания либо же спирт. Поджигаем жидкость для возгорания и начинаем вращать круг. Наблюдаем самое настоящее торнадо.
При раскручивании круга, пламя начинает стремиться вверх и закручивается как торнадо. Это происходит потому, что когда вращается ведро, оно увлекает за собой воздух, и внутри образуется некий вихрь, то есть там образуется некое движение воздуха, а если у воздуха есть движение, то внутри будет давление меньше по закону Бернулли и начинает насасывать воздух со всей округи. И он же и раздувает этот огонь, а так как есть восходящий поток, то внутри образуется пламя и благодаря тому, что поток закручивается, закручивается и воздух.
2. Яйцо в бутылке.
Заполните бутылку на 1/3 горячей водой. Аккуратно установите вареное очищеное яичко на горлышке бутылки. Подождите несколько минут и яйцо упадет на дно бутылки. Когда Вы наливаете горячую воду в бутылку, то она и весь воздух в ней нагревается. Снаружи же воздух прохладней. И пока воздух в бутылке и снаружи разный, горячий воздух стремится покинуть бутылку как можно быстрее. Из-за этих действий происходит перепад давления, что впоследствии заставляет яичко падать на дно бутылки.
3. Как достать монету, не намочив пальцы?
Положите монету на большую плоскую тарелку. Налейте столько воды, чтобы она покрыла монету. А теперь предложите гостям или зрителям достать монетку, не намочив при этом пальцев. Для проведения опьта необходим еще стакан и несколько спичек, воткнутых в плавающую на воде пробку. Зажгите спички и быстро накройте плавающий горящий кораблик стаканом, не захватив при этом монетки. Когда спички погаснут, стакан наполнится белым дымом, а затем под ним сама собой соберется вся вода из тарелки. Монета останется на месте, и вы можете взять ее, не намочив пальцев.
Объяснение. Сила, вогнавшая воду под стакан и удерживаюшая ее там на определенной высоте, - атмасфероное давление. Горящие спички нагрели в стакане воздух, давление его возросло, часть газа вышла наружу. Когда спички погасли, воздух снова остыл, но при охлаженин его давление уменьшилось, под стакан вошла вода, вгоняемая туда давлением наружного воздуха.
Рассмотрим случай вращения твердого тела вокруг некоторой произвольной оси 00, (рис. 5.5). Вектор полного момента импульса L тела относительно неподвижной точки на оси вращения в общем случае не параллелен вектору угловой скорости о) и вычисляется согласно определению (4.36):
где ?j и V/ — радиус-вектор и скорость /-й частицы тела относительно полюса — некоторой точки О на рис. 5.5. Используем тот факт, что в системе координат, связанной с телом, составляющие вектора постоянны и скорость vi определяется как й,=1со,/*] согласно (2.20).
Тогда выражение (5.16) можно записать в виде
Отсюда проекция момента импульса на ось Xнеподвижной декартовой системы координат с началом в точке О определяется как линейная функция составляющих вектора угловой скорости со:
Аналогично вычисляются две другие проекции вектора L :
Введенные здесь девять коэффициентов 1тп (т, п — х, у, z) образуют квадратную матрицу, которая преобразуется как тензор второго порядка и называется тензором инерции (тензором момента инерции):
Диагональные компоненты тензора инерции — коэффициенты 7^, 7 , /_. — это моменты инерции тела относительно осей X, У и Z. Недиагональные компоненты тензора (5.17) называются центробежными моментами инерции тела. Поскольку / = 7 , Ixz = /,х и / = I , то тензор инерции является симметричным. В случае, когда масса т твердого тела непрерывно распределена по его объему, , 7 , Iопределяются по формулам (5.6а)—(5.6в). При этом центробежные моменты инерции будут определяться так:
Как известно, любой симметричный тензор или матрицу можно диаго- нализировать, т.е. для любого тела можно выбрать три такие взаимно перпендикулярные оси X, У, Z, для которых все недиагональные компоненты равны нулю и тензор инерции принимает вид
Такие оси являются главными осями инерции тела, а сохранившиеся диагональные компоненты тензора инерции — это главные моменты инерции. Тогда проекции момента импульса на главные оси инерции имеют вид
Как следует из полученных формул, даже в этом случае вектор Z не совпадает с вектором со по направлению.
Таким образом, тензор инерции любого тела зависит от точки, относительно которой он рассчитан. Когда ось вращения твердого тела закреплена и совпадает с одной из осей координат, например с осью Z, то вектор угловой скорости направлен по оси Z (соЛ. =cov, =0 и со. — со) и Т. = /„со=/со. Однако если ось вращения твердого тела не закреплена, то ее нельзя считать все время направленной вдоль фиксированной оси Z и необходимо вычислять все компоненты тензора инерции.
1. Огненное торнадо (не настоящее)
На вращающийся круг устанавливаем металлическое ведро. В него опускаем небольшой контейнер. Затем в контейнер наливаем жидкость для возгорания либо же спирт. Поджигаем жидкость для возгорания и начинаем вращать круг. Наблюдаем самое настоящее торнадо.
При раскручивании круга, пламя начинает стремиться вверх и закручивается как торнадо. Это происходит потому, что когда вращается ведро, оно увлекает за собой воздух, и внутри образуется некий вихрь, то есть там образуется некое движение воздуха, а если у воздуха есть движение, то внутри будет давление меньше по закону Бернулли и начинает насасывать воздух со всей округи. И он же и раздувает этот огонь, а так как есть восходящий поток, то внутри образуется пламя и благодаря тому, что поток закручивается, закручивается и воздух.
2. Яйцо в бутылке.
Заполните бутылку на 1/3 горячей водой. Аккуратно установите вареное очищеное яичко на горлышке бутылки. Подождите несколько минут и яйцо упадет на дно бутылки. Когда Вы наливаете горячую воду в бутылку, то она и весь воздух в ней нагревается. Снаружи же воздух прохладней. И пока воздух в бутылке и снаружи разный, горячий воздух стремится покинуть бутылку как можно быстрее. Из-за этих действий происходит перепад давления, что впоследствии заставляет яичко падать на дно бутылки.
3. Как достать монету, не намочив пальцы?
Положите монету на большую плоскую тарелку. Налейте столько воды, чтобы она покрыла монету. А теперь предложите гостям или зрителям достать монетку, не намочив при этом пальцев. Для проведения опьта необходим еще стакан и несколько спичек, воткнутых в плавающую на воде пробку. Зажгите спички и быстро накройте плавающий горящий кораблик стаканом, не захватив при этом монетки. Когда спички погаснут, стакан наполнится белым дымом, а затем под ним сама собой соберется вся вода из тарелки. Монета останется на месте, и вы можете взять ее, не намочив пальцев.
Объяснение. Сила, вогнавшая воду под стакан и удерживаюшая ее там на определенной высоте, - атмасфероное давление. Горящие спички нагрели в стакане воздух, давление его возросло, часть газа вышла наружу. Когда спички погасли, воздух снова остыл, но при охлаженин его давление уменьшилось, под стакан вошла вода, вгоняемая туда давлением наружного воздуха.