Олимпиада, задача: Одинаковая мощность при различных нагрузках. ( ) При двух различных сопротивлениях нагрузки R1 = 17 Ом и R2 = 81 Ом во внешней цепи выделяется одинаковая полезная мощность. Найдите:

1) Внутреннее сопротивление источника тока r.

2) Отношение мощностей тепловых потерь в источнике тока в первом и во втором случаях : P1/P2=К .

Результаты округлите с точностью не хуже, чем до одного процента.

Введите ответ:

Сопротивление источника тока: r =

Отношение мощностей тепловых потерь в источнике тока в первом и во втором случаях: K=

1. r=9√17 Ом

2. K=2,18

Объяснение:

1. Решаем задачу "влоб", используя формулы закона Ома:

I₁=E/(R₁+r); P₁=I₁²*R₁; P₁=E²R₁/(R₁+r)²,

I₂=E/(R₂+r); P₂=I₂²*R₂; P₂=E²R₂/(R₂+r)², где

I₁ - ток схемы в первом случае, А;

I₂ - ток схемы во втором случае, А;

P₁ - мощность, рассеиваемая на резисторе нагрузки R₁, Вт;

P₂ - мощность, рассеиваемая на резисторе нагрузки R₂, Вт;

приравниваем значения мощности в первом и во втором случае, и решаем уравнение относительно переменной r:

E²R₁/(R₁+r)²=E²R₂/(R₂+r)²; R₁/(R₁+r)²=R₂/(R₂+r)²;

R₁(R₂+r)²/(R₂(R₁+r)²)=1;

R₁(R₂²+2R₂r+r²)/(R₂(R₁²+2R₁r+r²)=1;

R₁R₂²+2R₁R₂r+R₁r²=R₂R₁²+2R₂R₁r+R₂r²;

r²(R₁-R₂)=R₂R₁²- R₁R₂²;

r²=(R₂R₁²- R₁R₂²)/(R₁-R₂);

r₁₂=±√((R₂R₁²- R₁R₂²)/(R₁-R₂)); r₁₂=±√(R₁R₂(R₁-R₂)/(R₁-R₂)) (сокращаем, учитывая, что R₁-R₂≠0)

r₁₂=±√(R₁R₂);

r₁₂=±√(17*81)=±9√17 (Ом);

естественно, выбираем положительный корень:

r=9√17 Ом

2. Обозначим тепловые потери источника напряжениия, как P'₁ и P'₂. Тогда по закону Ома:

P'₁=E²r/(R₁+r)²; P'₂=E²r/(R₂+r)²

K=P'₁/P'₂=[E²r/(R₁+r)²]/[E²r/(R₂+r)²]=[1/(R₁+r)²]/[1/(R₂+r)²]=(R₂+r)²/(R₁+r)²;

K=P'₁/P'₂=(81+9√17)/(17+9√17);

K=P'₁/P'₂=(81+37,11)/(17+37,11)=118,11/54.11=2,18