Определите, действие каких сил компенсируется в следующих примерах: на столе лежит книга; на землю равномерно падает берёзовый лист; на крючке безмена висит пакет с яблоками.
Переходя к пределу при {\displaystyle m\to \infty } m\to\infty и используя второй замечательный предел {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e} \lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}=e, выводим тождество
Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции {\displaystyle (1+x)^{r}} (1+x)^r в ряд Тейлора:
{\displaystyle (1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}} (1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k} x^k,
где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:
{\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}} {\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}}
При этом ряд
{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...} (1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+
сходится при {\displaystyle |z|\leq 1} |z|\le 1.
В частности, при {\displaystyle z={\frac {1}{m}}} z=\frac{1}{m} и {\displaystyle \alpha =x\cdot m} \alpha=x\cdot m получается тождество
{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\;m^{2}}}+...+{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\;m^{n}}}+\dots .} \left(1+\frac{1}{m}\right)^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2\; m^2}+...+\frac{xm(xm-1)\cdots(xm-n+1)}{n!\; m^n}+\dots.
Переходя к пределу при {\displaystyle m\to \infty } m\to\infty и используя второй замечательный предел {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e} \lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}=e, выводим тождество
{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots ,} e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots,
которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.
Объяснение:
№1
P = IU = I²R
P1/P2 = ( ( 2I )²( R/4 ) )/( I²R ) = ( I²R )/( I²R ) = 1
№2
η = Рпол./Рзат. * 100%
η = ( I2U2 )/( I1U1 ) 100%
I1 = ( I2U2 )/( ηU1 ) 100%
I1 = ( 9 * 22 )/( 90% * 220 ) 100% = 1 A
№3
λ = Тv
λ = 2π√( LCоб. )v
λ = 2π√( L( C1 + C2 ) )v
λ = 2 * 3,14 √( 10 * 10^-3 ( 360 * 10^-12 + 40 * 10^-12 ) ) 3 * 10^8 = 2 * 3,14 √( 10^-2 ( ( 36 + 4 ) 10^-11 ) 3 * 10^8 = 3768 м
№4
WC( max ) = ( CU( max )² )/2
WL( max ) = ( LI( max )² )/2
W = WC( max ) = WL( max )
( CU( max )² )/2 = ( LI( max )² )/2
CU( max )² = LI( max )²
С = ( LI( max )² )/( U( max )² )
W = WC + WL
W = ( CU² )/2 + ( LI² )/2
( CU( max )² )/2 = ( CU² )/2 + ( LI² )/2
CU( max )² = CU² + LI²
LI( max )² = ( LI( max )²U² )/U( max )² + LI²
LI( max )² = L ( I( max )²U² )/U( max )² + I² )
I( max )² = ( I( max )²U² )/U( max )² + I²
Подставим численные данные и решим уравнение
( 5 * 10^-3 )² = ( ( 5 * 10^-3 )²U²/2² ) + ( 3 * 10^-3 )²
2,5 * 10^-5 = 6,25 * 10^-6U² + 9 * 10^-6
( 25 - 9 ) 10^-6 = 6,25 * 10^-6U²
16 = 6,25U²
U = √( 16/6,25 ) = 1,6 B