Підіймаючись на гору, лижник проходить шлях 3 км із швидкістю 5,4 км/год. Спускаючись з гори зі швидкістю 10 м/с, він проходить 1 км шляху. Знайти середню швидкість лижника на всьому шляху.

Будем считать, что в трубке идеальный газ. Тогда используя уравнение состояния идеального газа при постоянной температуре имеем pV=const (1).
При расположении трубки вертикально пренебрежем силой тяжести газов. Тогда объем газов в трубке изменится под действием силы тяжесли ртутного столбика Fрт=m*g. Откуда ррт (давление рт.столбика)=Fрт/S трубки.
Обоначим p1 и V1 давление и объем газа в верхней части трубки, а p2 и V2 давление и объем газа в нижней части трубки. Знаем что, V1=V2+4 см3 и V1+V2=51*2см3 (суммарный объем занимаемый газами не изменился), из (1) имеем p1*V1=p2*V2=сonst. Зная, что система будет в равновесии при p2=p1+pрт, найдем S.

Горизонтальное расстояние L, горизонтальная составляющая скорости v₀Cosα и время полёта камня t связаны следующим соотношением:
tv₀Cosα  = L
откуда время полёта
t = L/v₀Cosα

С другой стороны, время полёта складывается из времени, в течение которого камень слетал на максимальную высоту и вернулся обратно, на высоту обрыва:
t₁ = 2v₀Sinα/g
и времени t₂, которое затратил камень, падая с высоты h обрыва с вертикальной составляющей, равной v₀Sinα.

Время t₂ можно рассчитать, если мы определим вертикальную составляющую скорости v, с которой камень упал в овраг, поскольку
t₂ = (v - v₀Sinα)/g.

Полная механическая энергия E = mv²/2 есть величина постоянная, поэтому можно написать
mv²/2 = mgh + mv₀²Sin²α/2
откуда вертикальная составляющая скорости, с которой камень завершил полёт равна:
v = √(2gh + v₀²Sin²α) и в результате время
t₂ = (√(2gh + v₀²Sin²α) - v₀Sinα)/g

Таким образом, мы можем выразить время полёта через вертикальную составляющую начальной скорости броска камня:
t = t₁ + t₂ = 2v₀Sinα/g + (√(2gh + v₀²Sin²α) - v₀Sinα)/g;
t = v₀Sinα/g + √(2h/g + v₀²Sin²α/g²)

Это даёт нам возможность написать уравнение для определения искомой начальной скорости v₀:

L/v₀Cosα = v₀Sinα/g + √(2h/g + v₀²Sin²α/g²)

Решаем его:
L = v₀²SinαCosα/g + √(2hv₀²Cosα²/g + v₀⁴Sin²αCosα²/g²)
L - v₀²SinαCosα/g = √(2hv₀²Cosα²/g + v₀⁴Sin²αCosα²/g²)
L² - 2Lv₀²SinαCosα/g + v₀⁴Sin²αCosα²/g² = 2hv₀²Cosα²/g + v₀⁴Sin²αCosα²/g²
L² - 2Lv₀²SinαCosα/g = 2hv₀²Cosα²/g
v₀² = L²g/(2hCosα² + 2LSinαCosα)

и окончательно
v₀ = L√(g/(2(hCosα² + LSinαCosα))

v₀ = 25√(10/(2(100·0.866² + 25·0.5·0.866)) = 6.03 м/с

Поскольку решение перегружено алгебраическими преобразованиями, проведём на всякий случай проверку.
t = v₀Sinα/g + √(2h/g + v₀²Sin²α/g²) = 6.03·0.5/10 + √(2·100/10 + 6.03²0.5²/100) = 4.78 c

Тогда
L = tv₀Cosα = 4.78·6.03·0.866 = 25 м -
по-видимому, в вычислениях я не проврался.

Итак, ответ: камень бросили с начальной скоростью 6,03 м/с