Решить . пружинный маятник совершает гармонические колебания вдоль горизонтальной оси ох. определите, во сколько раз отличаются кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины в момент времени, когда смещение из положения равновесия составляет х=а/3
ответ:![\dfrac{E}{W} = 8](/tpl/images/1001/0025/ccb30.png)
Объяснение:
Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде:
Будим считать, что маятник, в начальный момент времени, находился в положении максимального смещения от положения равновесия. В этом случае, когда мы отпустим маятник, он начнет совершать гармонические, незатухающие колебания.
Отсюда
⇒
(1)
Мы знаем, что потенциальную энергию пружинного маятника W, в любой момент времени t, можно вычислить как kx²(t)/2, а кинетическую энергию E, как mv²(t)/2.
То-есть
, но согласно уравнению (1) получим ![W=\dfrac{kA^{2} \cos^{2} ( \omega t)}{2}\\](/tpl/images/1001/0025/d3108.png)
Аналогично
, однако мы знаем, что ![v(t) =\dfrac{d}{dt} (x(t))](/tpl/images/1001/0025/dcfef.png)
Тогда
⇒
, а это значит что ![E = \dfrac{m\omega^{2} A^{2} \sin^{2} ( \omega t)}{2}](/tpl/images/1001/0025/5ed5b.png)
Поэтому
, так как
, то
⇒
(2)
Теперь определим cos²(ωt), мы знаем, что в нашем случае, в момент момент времени t растяжение пружины маятника составило А/3, тогда согласно уравнению (1)
⇒
, следовательно ![\cos^{2} ( \omega t) = \dfrac{1}{9}](/tpl/images/1001/0025/791d5.png)
Возвращаясь к уравнению (2) получим![\dfrac{E}{W} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{9} }{\dfrac{1}{9} }} = 8](/tpl/images/1001/0025/e5c15.png)