Дано: v₁ v₂ α=45° Найти: v, β Решение: Если бы ракетка была неподвижна, то мячик отскочил бы под таким же углом и таким же модулем скорости. Этот вектор скорости имеет координаты: v₁(x)=v₁ cosα=v₁/√2 v₁(y)=v₁ sinα=v₁/√2 v₁(v₁/√2; v₁/√2) Но ракетка сообщит ему еще одну составляющую v₂. Его координаты v₂(x)=v₂ v₂(y)=0 v₂(v₂; 0) Результирующая скорость мяча v является векторной суммой векторов v₁ и v₂. Тогда его координаты: v(v₂+v₁/√2; v₁/√2) Из геометрии прямоугольного треугольника имеем Модуль искомой скорости v=√((v₂+v₁/√2)²+(v₁/√2)²)=√(v₂²+v₂v₁√2+v₁²) tgβ=(v₂+v₁/√2)/(v₁/√2)=(v₂√2+v₁)/v₁ β=arctg((v₂√2+v₁)/v₁) ответ: v=√(v₂²+v₂v₁√2+v₁²); β=arctg((v₂√2+v₁)/v₁)
Дано: Н L Найти: v₀, α Решение: Движение по оси у равноускоренное. В верхней точке вертикальная составляющая скорости равна 0. Формула скорости в этом случае принимает вид 0=v₀sinα-gt₁ Находим время подъема до высшей точки t₁=v₀sinα/g Теперь воспользуемся формулой пути при равноускоренном движении s=(v₂²-v₁²)/(2a) При рассмотрении движения до верхней точки, эта формула принимает вид H=-(v₀sinα)²/(2g) (поскольку знак минус говорит о направлении, то мы в дальнейшем можем его не учитывать) Перейдем к горизонтальному движению. Это равномерное движении. Поэтому L=v₀cosα·t₂ Время полета t₂ в два раза больше времени подъема до верхней точки t₂=2t₁=2v₀sinα/g Следовательно L=v₀cosα·2v₀sinα/g=2v₀²sinα·cosα/g Итого имеем два уравнения с двумя неизвестными. {H=v₀²sin²α/(2g) {L=2v₀²sinα·cosα/g Разделим второе на первое L/H=4cosα/sinα sinα/cosα=4H/L tgα=4H/L α=arctg(4H/L) Зная одно неизвестное, легко найти второе. Например, из второго уравнения L=2v₀²sinα·cosα/g=v₀²sin2α/g v₀²=gL/sin2α=gL/sin(2arctg(4H/L)) v₀=√(gL/sin(2arctg(4H/L))) ответ: α=arctg(4H/L); v₀=√(gL/sin(2arctg(4H/L)))
v₁
v₂
α=45°
Найти: v, β
Решение:
Если бы ракетка была неподвижна, то мячик отскочил бы под таким же углом и таким же модулем скорости. Этот вектор скорости имеет координаты:
v₁(x)=v₁ cosα=v₁/√2
v₁(y)=v₁ sinα=v₁/√2
v₁(v₁/√2; v₁/√2)
Но ракетка сообщит ему еще одну составляющую v₂. Его координаты
v₂(x)=v₂
v₂(y)=0
v₂(v₂; 0)
Результирующая скорость мяча v является векторной суммой векторов v₁ и v₂. Тогда его координаты:
v(v₂+v₁/√2; v₁/√2)
Из геометрии прямоугольного треугольника имеем
Модуль искомой скорости
v=√((v₂+v₁/√2)²+(v₁/√2)²)=√(v₂²+v₂v₁√2+v₁²)
tgβ=(v₂+v₁/√2)/(v₁/√2)=(v₂√2+v₁)/v₁
β=arctg((v₂√2+v₁)/v₁)
ответ: v=√(v₂²+v₂v₁√2+v₁²); β=arctg((v₂√2+v₁)/v₁)
Н
L
Найти: v₀, α
Решение:
Движение по оси у равноускоренное. В верхней точке вертикальная составляющая скорости равна 0. Формула скорости в этом случае принимает вид
0=v₀sinα-gt₁
Находим время подъема до высшей точки
t₁=v₀sinα/g
Теперь воспользуемся формулой пути при равноускоренном движении
s=(v₂²-v₁²)/(2a)
При рассмотрении движения до верхней точки, эта формула принимает вид
H=-(v₀sinα)²/(2g) (поскольку знак минус говорит о направлении, то мы в дальнейшем можем его не учитывать)
Перейдем к горизонтальному движению. Это равномерное движении. Поэтому
L=v₀cosα·t₂
Время полета t₂ в два раза больше времени подъема до верхней точки
t₂=2t₁=2v₀sinα/g
Следовательно
L=v₀cosα·2v₀sinα/g=2v₀²sinα·cosα/g
Итого имеем два уравнения с двумя неизвестными.
{H=v₀²sin²α/(2g)
{L=2v₀²sinα·cosα/g
Разделим второе на первое
L/H=4cosα/sinα
sinα/cosα=4H/L
tgα=4H/L
α=arctg(4H/L)
Зная одно неизвестное, легко найти второе. Например, из второго уравнения
L=2v₀²sinα·cosα/g=v₀²sin2α/g
v₀²=gL/sin2α=gL/sin(2arctg(4H/L))
v₀=√(gL/sin(2arctg(4H/L)))
ответ: α=arctg(4H/L); v₀=√(gL/sin(2arctg(4H/L)))