С какой начальной скоростью надо бросить вниз мяч с высоты 3 м, чтобы он подпрыгнул на высоту 5 м? Считать удар о землю абсолютно упругим.

Не уверен в ответе, но это все же лучше, чем ничего:
Весь путь состоит из трех отрезков: разгон, равномерное движение, торможение. Логично предположить, что время, затраченное на разгон равно времени, затраченном на торможение. 
Средняя скорость равна (S₁+S₂+S₃)/(t₁+t₂+t₃) = 20 м/с
Путь, который поезд и во время ускорения, и во время торможения равен at²/2; Поезд набирал скорость от 0 до V, где V - искомая величина. Значит a = V/120. Подставляем: V/120*120²/2 = 60V.
Сумма времен t₁ t₂ и t₃ равна 20 мин = 1200 с. Если это подставить в формулу средней скорости, то найдем, что весь путь равен 24000 м
Отсюда можем найти путь, который поезд, двигаясь равномерно:
24000 - 120V
Поезд двигался равномерно 16 мин или 960 с. Отсюда 24000 - 120V = =960V
Откуда находим 24000 = 1080V
И, наконец, V = 22.2 м/с или около 80 км/ч

Заметим, что V2 = 2V1.

V1 ≈ 72 км/ч ≈ 20 м/с ;

Изменение кинетической энергии в ЛСО
(системе отсчёта связанной с землёй, в лабораторной СО):

∆Eк = Eк – Eкo = MV2²/2 – MV1²/2 = M/2 ( (2V1)² – V1² ) =
= M/2 ( 4V1² – V1² ) = 1.5MV1² ;

Изменение скорости первоого автомобиля в СО,
связанной со вторым автомобилем:

V1' = V1 – V1 = 0     – начальная скорость в подвижной СО.

V2' = V2 – V1 = 2V1 – V1 = V1     – конечная скорость в подвижной СО.

Изменение кинетической энергии первоого автомобиля в СО,
связанной со вторым автомобилем:

∆Eк' = Eк' – Eкo' = MV2'²/2 – MV1'²/2 = M/2 ( V1² – 0 ) = 0.5MV1²
( втрое меньше ∆Eк )

∆Eк = 1.5MV1² ≈ 1.5*1000*20² ≈ 600 000 Дж
изменение кин. энергии 1-ого автомобиля в ЛСО ;

∆Eк' = 0.5MV1² ≈ 0.5*1000*20² ≈ 200 000 Дж
изменение кин. энергии 1-ого автомобиля в СО, связанной со 2-ым.