Движение на обоих участках было равномерным, поэтому найти время \(t_1\) и \(t_2\) не составит труда.
\[\left\{ \begin{gathered}
{t_1} = \frac{{{S_1}}}{{{\upsilon _1}}} \hfill \\
{t_2} = \frac{{{S_2}}}{{{\upsilon _2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Так как участки равны по величине \(S_1=S_2=\frac{1}{2}S\), и скорость на первой участке больше скорости на втором в два раза \(\upsilon_1=2\upsilon_2\), то:
Cколько воды, взятой при 50 градусах необходимо, чтобы превратить в воду 10 кг льда, взятого при -10 градусов в алюминиевой емкости массой 5 кг. Напишем уравнение теплового баланса:
Среднюю скорость катера можно сосчитать по формуле:
\[{\upsilon _{ср}} = \frac{{{S_1} + {S_2}}}{{{t_1} + {t_2}}}\]
Движение на обоих участках было равномерным, поэтому найти время \(t_1\) и \(t_2\) не составит труда.
\[\left\{ \begin{gathered}
{t_1} = \frac{{{S_1}}}{{{\upsilon _1}}} \hfill \\
{t_2} = \frac{{{S_2}}}{{{\upsilon _2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Так как участки равны по величине \(S_1=S_2=\frac{1}{2}S\), и скорость на первой участке больше скорости на втором в два раза \(\upsilon_1=2\upsilon_2\), то:
\[\left\{ \begin{gathered}
{t_1} = \frac{S}{{2{\upsilon _1}}} = \frac{S}{{4{\upsilon _2}}} \hfill \\
{t_2} = \frac{S}{{2{\upsilon _2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Подставим выражения для времен \(t_1\) и \(t_2\) в формулу средней скорости.
\[{\upsilon _{ср}} = \frac{S}{{\frac{S}{{4{\upsilon _2}}} + \frac{S}{{2{\upsilon _2 = \frac{S}{{\frac{{3S}}{{4{\upsilon _2 = \frac{{S \cdot 4{\upsilon _2}}}{{3S}} = \frac{{4{\upsilon _2}}}{3}\]
Значит необходимая нам скорость \(\upsilon_2\) определяется по такой формуле.
Напишем уравнение теплового баланса:
Qв = Qл + Qп + Qа ;
Qв – теплота, отданная горячей водой,
Qл – теплота, получаемая нагреваемым льдом,
Qп – теплота, получаемая плавящимся льдом,
Qё – теплота, получаемая алюминиевой ёмкостью.
to – конечная температура,
tв = 50°С – температура горячей воды,
tл = –10°С – начальная температура льда и ёмкости,
mв – масса воды,
mл = 10 кг – масса льда,
mё = 5 кг – масса алюминиевой ёмкости,
с = 4190 Дж/кг°С – теплоёмкость воды,
с/2 = 2095 Дж/кг°С – теплоёмкость льда,
сё = 920 Дж/кг°С– теплоёмкость алюминия,
Л = 340 000 Дж/кг – теплота плавления льда,
Qв = c mв ( tв - to ) ;
Qл = (c/2) mл ( to – tл ) ;
Qп = Л mл ;
Qё = сё mё ( to – tл ) ;
Тогда получается, что:
Qв = Qл + Qп + Qа ;
c mв ( tв - to ) = (c/2) mл ( to – tл ) + Л mл + сё mё ( to – tл ) ;
c mв tв - c mв to = (c/2) mл to – (c/2) mл tл + Л mл + сё mё to – сё mё tл ;
c mв to + (c/2) mл to + сё mё to = c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл ;
( c mв + (c/2) mл + сё mё ) to = c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл ;
to = ( c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл ) / ( c mв + (c/2) mл + сё mё ) > 0 ;
Знаменатель – положителен, значит должен быть положителен и числитель:
c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл > 0 ;
mв tв > (Л/с) mл – (1/2) mл tл – (сё/с) mё tл ;
mв > ( Л / (с tв) ) mл + (1/2) mл |tл|/tв + (сё/с) mё |tл|/tв ;
[1] mв > mл ( Л / (с tв) + |tл|/(2tв) ) + (сё/с) mё |tл|/tв ;
либо:
[2] mв > mл ( Л / (с tв) ) + ( mл/2 + (сё/с) mё ) |tл|/tв ;
Посчитаем по [1]: mв > 10*( 340 000 / (4190*50) + 10/100 ) + (920/4190)*5*10/50 = 17.5 кг ;
Посчитаем по [2]: mв > 10*( 340 000 / (4190*50) ) + ( 10/2 + (920/4190)*5 ) 10/50 = 17.5 кг ;
Всё сходится. Нужно взять больше, чем 17.5 кг (17.5 литров) воды, тогда весь лёд, взятый в алюминиевой ёмкости при –10°С удастся растопить.