онкое кольцо массой 15 г и радиусом 12 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой 8 с-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Определить отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его моменту импульса. [251 нКл/кг]
14.2. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной, равной 60 см, течет постоянный ток 3 А. Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата. [5,66 мкТл]
14.3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми равно 25 см, текут токи 20 и 30 А в противоположных направлениях. Определить магнитную индукцию В вточке, удаленной на г1 =30 см от первого и г2=40 см от второго проводника. [9,5 мкТл]
14.4. Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом 10 см, по которому течет ток 10 А, в точке, расположенной на расстоянии 15 см от центра кольца. [10,7 мкТл]
14.5. Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с одинаковыми токами, текущими в одном направлении, находятся друг от друга на расстоянии R. Чтобы их раздвинуть до расстояния 3R, на каждый сантиметр длины проводника затрачивается работа А=220 нДж. Определить силу тока в проводниках. [10 А]
14.6. Определить напряженность поля, создаваемого прямолинейно равномерно движущимся со скоростью 500 км/с электроном в точке, находящейся от него на расстоянии 20 нм и лежащей на перпендикуляре к скорости, проходящем через мгновенное положение электрона. [15,9 А/м]
14.7. Протон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, влетая в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл, движется по окружности. Определить радиус этой окружности. [3,23 см]
14.8. Определить, при какой скорости пучок заряженных частиц, проходя перпендикулярно область, в которой созданы однородные поперечные электрическое и магнитное поля с E = 10 кВ/м и В = 0,2Тл, не отклоняется. [50 км/с]
14.9. Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. Определить радиус дуантов циклотрона при индукции магнитного поля 1 Тл. [>47 см]
14.10. Через сечение медной пластинки толщиной 0,1 мм пропускается ток 5 А. Пластинка помещается в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направлению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной концентрации атомов, определить возникающую в пластине поперечную (холловскую) разность потенциалов. Плотность меди 8,93 г/см3. [1,85 мкВ]
14.11. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток 15 А. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, магнитную индукцию В вточке, расположенной на расстоянии 15 см от проводника. [20 мкТл]
14.12. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей 300 витков, протекает ток 1 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний — 40 см. [0.24 мТл; 191 А/м]
14.13. Поток магнитной индукции сквозь площадь поперечного сечения соленоида (без сердечника) Ф = 5 мкВб. Длина соленоида l = 25 см. Определить магнитный момент рт этого соленоида. [1 А×м2]
14.14. Круглая рамка с током площадью 20 см2 закреплена параллельно магнитному полю (5 = 0,2 Тл), и на нее действует вращающий момент 0,6 мН'м. Рамку освободили, после поворота на 90° ее угловая скорость стала 20 с-1. Определить: 1) силу тока, текущего в рамке; 2) момент инерции рамки относительно ее диаметра. [1) 1,5 А; 2) 3×10 -6 кг м2]
В задаче не сказано, с какой угловой скоростью поворачивают кольцо вокруг горизонтальной оси. Обозначим угловую скорость поворота кольца, как ω , и посмотрим, на что она повлияет (это влияние скажется в эффекте самоиндукции).
Допустим, для определённости, что внешнее магнитное поле Bв направлено вверх.
Допустим, что кольцо поворачивают по часовой стрелке вокруг оси, уходящей от нас по горизонтали.
При таком повороте, магнитный поток Фв внешнего магнитного поля Bв, направленного вверх, будет постепенно с ходом поворота убывать, а значит, в кольце возникнет ток, направленный против часовой стрелки, который по принципу Ленца будет стараться компенсировать убыль магнитного потока внешнего поля. Примем в наших дальнейших рассуждениях это направление по кольцу за положительное, как для тока, так и для вихревого электрического поля и для ЭДС индукции и самоиндукции.
Итак, пусть по кольцу уже течёт какой-то ток I против часовой стрелки. Этот ток создаст собственный магнитный поток Фo = LI, собственного магнитного поля Bo, направленного вверх, поперёк (!) кольца. Если этот собственный магнитный поток будет расти, то в кольце по принципу Ленца будет возникать возвратная ЭДС самоиндукции Ɛo=–LI' .
С другой стороны, в кольце всё время будет действовать ЭДС индукции внешнего магнитного поля, равная Ɛв=–Фв' .
Если кольцо уже повернули на угол φ от горизонтального положения, то поток внешнего магнитного поля через него равен Фв = BScosφ. Соответственно Фв' = –BSωsinωt .
Отсюда: Ɛв = BSωsinωt .
Общая ЭДС, как индукции, так и самоиндукции выразится, как Ɛ = Ɛв +Ɛо .
Ɛ = BSωsinωt – LI' ;
При этом ясно, что IR = Ɛ , тогда :
RI = BSωsinωt – LI' ; [1]
Будем искать ток I в форме: I = Is sinωt – Ic cosωt , [2]
минус взят, поскольку ясно, что ток будет запаздывать за поворотом из-за самоиндукции, тогда:
I' = Is ωcosωt + Ic ωsinωt ; [3]
подставим [2] и [3] в [1] и получим:
R Is sinωt – R Ic cosωt = BSωsinωt – L Is ωcosωt – L Ic ωsinωt ;
R Is sinωt – R Ic cosωt = ( BS – L Ic )ω sinωt – L Is ωcosωt ;
R Is = ( BS – L Ic )ω ;
R Ic = L Is ω ;
Ic = Is Lω/R ;
R Is = BSω – Is L²ω²/R ;
Is ( R + L²ω²/R ) = BSω ;
Is = BSω / [ R + L²ω²/R ] = BSRω / [ R² + L²ω² ] ;
Ic = BSLω² / [ R² + L²ω² ] ;
Итак, через [2] : I = BSω / [ R² + L²ω² ] ( Rsinωt – Lωcosωt ) ;
Проинтегрируем ток от 0 до 180° и получим протекший заряд:
Из приведённых данных видно, что если угловая скорость вращения будет меньше 1кГц (частота ниже 150 Гц), то пренебрегая слагаемым L²ω² – мы получим погрешность не боолее 1%. Это соответствует длительности периода примерно в 6 мс, или джлительности полупериода в 3 мс.
Далее, в расчётах, будем считать, что время поворота кольца превосходит 3 мс, а значит и слагнаемым самоиндукции можно смело пренебречь.
Найдём окончательно заряд через заданные параметры:
Если поворот происходит дольше 3 мс, то Q ≈ 1.68 Кл , иначе при более быстрых поворотах, из-за смоиндуктивного запаздывания тока весь этот заряд пройти по кольцу не успеет.
ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ:
Пренебрегаем самоиндукцией с самого начала и получаем упрощённое уравнение [*1]. Кольцо поворачивают и магнитный поток Ф внешнего магнитного поля B, будет постепенно с ходом поворота убывать, а значит, в кольце возникнет ток. В кольце всё время будет действовать ЭДС индукции внешнего магнитного поля (самоиндукцией мы пренебрегаем), равная |Ɛ|=Ф' . При этом ясно, что IR = |Ɛ| , тогда :
RI = Ф' ; [1]
RdQ/dt = dФ/dt ;
RdQ = dФ ;
R∆Q = ∆Ф ;
Мангитный поток меняется от значения BS вначале до противоположного (–BS), тогда:
∆Q = ∆Ф/R = 2BS/R ;
и тут мы приходим к уравнению [4] строго решения, после которого уже всё получается абсолютно точно также, кроме строго критерия, в соответствии с которым можно пренебрегать самоиндукцией кольца.
омическое сопротивление: R = ρl/s = 2πXρ/[πx²] = 2ρX/x² ; здесь X и x – радиус кольца и проволоки;
онкое кольцо массой 15 г и радиусом 12 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой 8 с-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Определить отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его моменту импульса. [251 нКл/кг]
14.2. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной, равной 60 см, течет постоянный ток 3 А. Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата. [5,66 мкТл]
14.3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми равно 25 см, текут токи 20 и 30 А в противоположных направлениях. Определить магнитную индукцию В вточке, удаленной на г1 =30 см от первого и г2=40 см от второго проводника. [9,5 мкТл]
14.4. Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом 10 см, по которому течет ток 10 А, в точке, расположенной на расстоянии 15 см от центра кольца. [10,7 мкТл]
14.5. Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с одинаковыми токами, текущими в одном направлении, находятся друг от друга на расстоянии R. Чтобы их раздвинуть до расстояния 3R, на каждый сантиметр длины проводника затрачивается работа А=220 нДж. Определить силу тока в проводниках. [10 А]
14.6. Определить напряженность поля, создаваемого прямолинейно равномерно движущимся со скоростью 500 км/с электроном в точке, находящейся от него на расстоянии 20 нм и лежащей на перпендикуляре к скорости, проходящем через мгновенное положение электрона. [15,9 А/м]
14.7. Протон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, влетая в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл, движется по окружности. Определить радиус этой окружности. [3,23 см]
14.8. Определить, при какой скорости пучок заряженных частиц, проходя перпендикулярно область, в которой созданы однородные поперечные электрическое и магнитное поля с E = 10 кВ/м и В = 0,2Тл, не отклоняется. [50 км/с]
14.9. Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. Определить радиус дуантов циклотрона при индукции магнитного поля 1 Тл. [>47 см]
14.10. Через сечение медной пластинки толщиной 0,1 мм пропускается ток 5 А. Пластинка помещается в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направлению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной концентрации атомов, определить возникающую в пластине поперечную (холловскую) разность потенциалов. Плотность меди 8,93 г/см3. [1,85 мкВ]
14.11. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток 15 А. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, магнитную индукцию В вточке, расположенной на расстоянии 15 см от проводника. [20 мкТл]
14.12. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей 300 витков, протекает ток 1 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний — 40 см. [0.24 мТл; 191 А/м]
14.13. Поток магнитной индукции сквозь площадь поперечного сечения соленоида (без сердечника) Ф = 5 мкВб. Длина соленоида l = 25 см. Определить магнитный момент рт этого соленоида. [1 А×м2]
14.14. Круглая рамка с током площадью 20 см2 закреплена параллельно магнитному полю (5 = 0,2 Тл), и на нее действует вращающий момент 0,6 мН'м. Рамку освободили, после поворота на 90° ее угловая скорость стала 20 с-1. Определить: 1) силу тока, текущего в рамке; 2) момент инерции рамки относительно ее диаметра. [1) 1,5 А; 2) 3×10 -6 кг м2]
Объяснение:
В задаче не сказано, с какой угловой скоростью поворачивают кольцо вокруг горизонтальной оси. Обозначим угловую скорость поворота кольца, как ω , и посмотрим, на что она повлияет (это влияние скажется в эффекте самоиндукции).
Допустим, для определённости, что внешнее магнитное поле Bв направлено вверх.
Допустим, что кольцо поворачивают по часовой стрелке вокруг оси, уходящей от нас по горизонтали.
При таком повороте, магнитный поток Фв внешнего магнитного поля Bв, направленного вверх, будет постепенно с ходом поворота убывать, а значит, в кольце возникнет ток, направленный против часовой стрелки, который по принципу Ленца будет стараться компенсировать убыль магнитного потока внешнего поля. Примем в наших дальнейших рассуждениях это направление по кольцу за положительное, как для тока, так и для вихревого электрического поля и для ЭДС индукции и самоиндукции.
Итак, пусть по кольцу уже течёт какой-то ток I против часовой стрелки. Этот ток создаст собственный магнитный поток Фo = LI, собственного магнитного поля Bo, направленного вверх, поперёк (!) кольца. Если этот собственный магнитный поток будет расти, то в кольце по принципу Ленца будет возникать возвратная ЭДС самоиндукции Ɛo=–LI' .
С другой стороны, в кольце всё время будет действовать ЭДС индукции внешнего магнитного поля, равная Ɛв=–Фв' .
Если кольцо уже повернули на угол φ от горизонтального положения, то поток внешнего магнитного поля через него равен Фв = BScosφ. Соответственно Фв' = –BSωsinωt .
Отсюда: Ɛв = BSωsinωt .
Общая ЭДС, как индукции, так и самоиндукции выразится, как Ɛ = Ɛв +Ɛо .
Ɛ = BSωsinωt – LI' ;
При этом ясно, что IR = Ɛ , тогда :
RI = BSωsinωt – LI' ; [1]
Будем искать ток I в форме: I = Is sinωt – Ic cosωt , [2]
минус взят, поскольку ясно, что ток будет запаздывать за поворотом из-за самоиндукции, тогда:
I' = Is ωcosωt + Ic ωsinωt ; [3]
подставим [2] и [3] в [1] и получим:
R Is sinωt – R Ic cosωt = BSωsinωt – L Is ωcosωt – L Ic ωsinωt ;
R Is sinωt – R Ic cosωt = ( BS – L Ic )ω sinωt – L Is ωcosωt ;
R Is = ( BS – L Ic )ω ;
R Ic = L Is ω ;
Ic = Is Lω/R ;
R Is = BSω – Is L²ω²/R ;
Is ( R + L²ω²/R ) = BSω ;
Is = BSω / [ R + L²ω²/R ] = BSRω / [ R² + L²ω² ] ;
Ic = BSLω² / [ R² + L²ω² ] ;
Итак, через [2] : I = BSω / [ R² + L²ω² ] ( Rsinωt – Lωcosωt ) ;
Проинтегрируем ток от 0 до 180° и получим протекший заряд:
Q = ∫Idt = BS / [ R² + L²ω² ] ∫ ( Rsinωt – Lωcosωt ) dωt =
= – BS / [ R² + L²ω² ] ( Rcosωt + Lωsinωt ) [0...π] ;
Q = 2BSR / [ R² + L²ω² ] ;
Для данного кольца:
индуктивность: L ≈ X μo ln(X/x) ≈ 0.13 мкГн ;
здесь X и x – радиус кольца и проволоки, а μo – магнитная постоянная ;
омическое сопротивление: R = ρl/s = 2πXρ/[πx²] = 2ρX/x² ≈ 1.1 мОм ;
Из приведённых данных видно, что если угловая скорость вращения будет меньше 1кГц (частота ниже 150 Гц), то пренебрегая слагаемым L²ω² – мы получим погрешность не боолее 1%. Это соответствует длительности периода примерно в 6 мс, или джлительности полупериода в 3 мс.
Далее, в расчётах, будем считать, что время поворота кольца превосходит 3 мс, а значит и слагнаемым самоиндукции можно смело пренебречь.
Найдём окончательно заряд через заданные параметры:
Q = 2BSR / [ R² + L²ω² ] ≈ 2BSR/R² = 2BS/R = 2BπX²/[2ρX/x²] = πBXx²/ρ ; [4]
Вычислим:
Q ≈ πBXx²/ρ ≈ 3.14*0.5*[3/100]*[1/1000]²/[2.8/100 000 000] ≈
≈ 3.14*1.5/2.8 ≈ 1.68 Кл ;
Если поворот происходит дольше 3 мс, то Q ≈ 1.68 Кл , иначе при более быстрых поворотах, из-за смоиндуктивного запаздывания тока весь этот заряд пройти по кольцу не успеет.
ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ:
Пренебрегаем самоиндукцией с самого начала и получаем упрощённое уравнение [*1]. Кольцо поворачивают и магнитный поток Ф внешнего магнитного поля B, будет постепенно с ходом поворота убывать, а значит, в кольце возникнет ток. В кольце всё время будет действовать ЭДС индукции внешнего магнитного поля (самоиндукцией мы пренебрегаем), равная |Ɛ|=Ф' . При этом ясно, что IR = |Ɛ| , тогда :
RI = Ф' ; [1]
RdQ/dt = dФ/dt ;
RdQ = dФ ;
R∆Q = ∆Ф ;
Мангитный поток меняется от значения BS вначале
до противоположного (–BS), тогда:
∆Q = ∆Ф/R = 2BS/R ;
и тут мы приходим к уравнению [4] строго решения, после которого уже всё получается абсолютно точно также, кроме строго критерия, в соответствии с которым можно пренебрегать самоиндукцией кольца.
омическое сопротивление: R = ρl/s = 2πXρ/[πx²] = 2ρX/x² ; здесь X и x – радиус кольца и проволоки;
Q = 2BS/R = 2BπX²/[2ρX/x²] = πBXx²/ρ ; [*4]
Вычислим:
Q ≈ πBXx²/ρ ≈ 3.14*0.5*[3/100]*[1/1000]²/[2.8/100 000 000] ≈
≈ 3.14*1.5/2.8 ≈ 1.68 Кл .