Две бригады должны были выполнить заказ за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая бригада заканчивала выполнение заказа еще 7 дней. За сколько дней могла бы выполнить заказ каждая из бригад, работая отдельно.
Р е ш е н и е. Пусть первая бригада выполняет задание за х дней, вторая бригада – за у дней. Примем всю работу за единицу. Тогда 1/х – производительность первой бригады, а 1/у – второй. Так как две бригады должны выполнить заказ за 12 дней, то получим первое уравнение
12(1/х+ 1/у)=1
Из второго условия следует, что вторая бригада работала 15 дней, а первая - только 8 дней. Значит, второе уравнение имеет вид
8/х+15/у=1
Таким образом, имеем систему: 12/x+12/y=1, 8/x+15/y=1
Вычтем из второго уравнения первое, получим: 21/у=1 ? у=21. Тогда 12/х+12/21=1 ? 12/х=3/7 ? х=28.
О т в е т: за 28 дней выполнит заказ первая бригада, за 21 день – вторая.
В бассейн проведены две трубы – подающая и отводящая, причем через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую вода из бассейна выливается. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов через одну первую трубу может наполниться бассейн, и за сколько времени через одну вторую трубу может осушиться полный бассейн?
Р е ш е н и е: Пусть V м3 – объем бассейна, х м3 /ч – производительность подающей трубы, у м3 /ч - отводящей. Тогда V/x ч – время, необходимое подающей трубе для заполнения бассейна, V/у ч – время, необходимое отводящей на осушение бассейна. По условию задачи
V/x- V/у=2.
Так как производительность отводящей трубы больше производительности наполняющей, то при включенных обеих трубах будет происходить осушение бассейна и одна треть бассейна осушится за время (V/3)(у-х), которое по условию задачи равно 8 ч. Итак, условие задачи может быть записано в виде системы двух уравнений с тремя неизвестными:
В задаче необходимо найти V/х и V/у. Выделим в уравнениях комбинацию неизвестных V/х и V/у, записав систему в виде: V/x-V/y=2, V/(y-x)=24 или V/x-V/y=2, y/V-x/V=1/24
Вводя новые неизвестные V/х=а и V/у=b, получаем следующую систему: a-b=2, 1/b-1/a=1/24
Подставляя во второе уравнение выражение a=b+2, имеем уравнение относительно b: 1/b-1/(b+2)=1/24
решив которое найдем b1=6, b2=-8. Условию задачи удовлетворяют первый корень b1=6(ч). Из первого уравнения последней системы находим а=8(ч), т.е. первая труба наполняет бассейн за 8ч.
О т в е т: через первую трубу бассейн наполнится через 8 ч, через вторую трубу бассейн осушится через 6 ч.
Две бригады должны были выполнить заказ за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая бригада заканчивала выполнение заказа еще 7 дней. За сколько дней могла бы выполнить заказ каждая из бригад, работая отдельно.
Р е ш е н и е. Пусть первая бригада выполняет задание за х дней, вторая бригада – за у дней. Примем всю работу за единицу. Тогда 1/х – производительность первой бригады, а 1/у – второй. Так как две бригады должны выполнить заказ за 12 дней, то получим первое уравнение
12(1/х+ 1/у)=1
Из второго условия следует, что вторая бригада работала 15 дней, а первая - только 8 дней. Значит, второе уравнение имеет вид
8/х+15/у=1
Таким образом, имеем систему: 12/x+12/y=1, 8/x+15/y=1
Вычтем из второго уравнения первое, получим: 21/у=1 ? у=21. Тогда 12/х+12/21=1 ? 12/х=3/7 ? х=28.
О т в е т: за 28 дней выполнит заказ первая бригада, за 21 день – вторая.
В бассейн проведены две трубы – подающая и отводящая, причем через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую вода из бассейна выливается. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов через одну первую трубу может наполниться бассейн, и за сколько времени через одну вторую трубу может осушиться полный бассейн?
Р е ш е н и е: Пусть V м3 – объем бассейна, х м3 /ч – производительность подающей трубы, у м3 /ч - отводящей. Тогда V/x ч – время, необходимое подающей трубе для заполнения бассейна, V/у ч – время, необходимое отводящей на осушение бассейна. По условию задачи
V/x- V/у=2.
Так как производительность отводящей трубы больше производительности наполняющей, то при включенных обеих трубах будет происходить осушение бассейна и одна треть бассейна осушится за время (V/3)(у-х), которое по условию задачи равно 8 ч. Итак, условие задачи может быть записано в виде системы двух уравнений с тремя неизвестными:
В задаче необходимо найти V/х и V/у. Выделим в уравнениях комбинацию неизвестных V/х и V/у, записав систему в виде: V/x-V/y=2, V/(y-x)=24 или V/x-V/y=2, y/V-x/V=1/24
Вводя новые неизвестные V/х=а и V/у=b, получаем следующую систему: a-b=2, 1/b-1/a=1/24
Подставляя во второе уравнение выражение a=b+2, имеем уравнение относительно b: 1/b-1/(b+2)=1/24
решив которое найдем b1=6, b2=-8. Условию задачи удовлетворяют первый корень b1=6(ч). Из первого уравнения последней системы находим а=8(ч), т.е. первая труба наполняет бассейн за 8ч.
О т в е т: через первую трубу бассейн наполнится через 8 ч, через вторую трубу бассейн осушится через 6 ч.
КРАТКАЯ ХРОНОЛОГИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА
1642
— Начало гражданской войны в Англии.
— 25 декабря — в Вулсторпе, близ Грэнтэма, родился Исаак Ньютон.
1644
— Выход книги Р. Декарта «Начала философии».
1648
— Ньютон посещает деревенские начальные школы.
1649
— Казнь Карла I. Объявление Англии республикой.
1655
— Ньютон поступает учиться в Королевскую школу в Грэнтэме.
1660
— Реставрация монархии. На престол всходит Карл II Стюарт.
— 28 ноября — основание Королевского общества в Лондоне.
1661
— 5 июня — Ньютон — сабсайзер Тринити-колледжа Кембриджского университета.
1664
— 28 апреля — стипендиат Тринити-колледжа.
— Ведёт наблюдения за Луной и кометой.
1665
— Большая чума.
— 14 января — бакалавр искусств.
— Август — бежит от чумы в Вулсторп.
— «Вопросник».
— 13 ноября — «Рассуждение о флюксиях и их приложение к касательным и кривизне кривых». Работы по рядам.
1666
— Большой лондонский пожар.
— Занятия механикой. Ранняя концепция силы. Сравнение силы притяжения Луны Землёй и центробежной силы на орбите Луны.
— Октябрь — трактат о флюксиях.
— Ноябрь — новый трактат о флюксиях.
1667
— Возвращение в Кембридж.
— 1 октября — младший член Тринити-колледжа.
1668
— Изобретает телескоп-рефлектор.
— 16 марта — магистр искусств.
— 7 июля — старший член Тринити-колледжа.
1669
— 29 октября — назначен лукасианским профессором математики.
— 31 июля — И. Барроу посылает «De analysi…» Коллинсу.
— Декабрь — примечания к «Алгебре» Кинкхюйзена.
1670
— Переписка с Коллинсом, доработка метода флюксий.
1671
— В Королевском обществе показан телескоп Ньютона.
— Работа «De methodis…».
1672
— 11 января — Избрание в члены Королевского общества,
— 6 февраля — «Новая теория света и цветов» послана Ольденбургу.
— 19 февраля — Первая статья Ньютона опубликована в «Философских трудах».
— «Гипотезы о свете», «Трактат о наблюдениях» — наброски книги «Оптика».
1673
— Письма Лейбница к Ольденбургу.
1676
— Открытие Гринвичской обсерватории.
1677
— Умер И. Барроу. Пожар в комнате Ньютона.
1679
— Умерла мать Ньютона, Анна Эйскоу-Ньютон-Смит.
— Чарлз Монтегю — студент в Тринити-колледже.
1682
— Комета Галлея.
1684
— Лейбниц публикует работу о дифференциальном исчислении.
— Начало работы над «Opus Magnum».
1685
— «Алгебра» Валлиса с выдержками из «Epistola» Ньютона.
— Формулировка закона всемирного тяготения.
1686
— 28 апреля — Представление первой части «Начал» Королевскому обществу.
1687
— Февраль — дело Албана Франсиса.
— Май — первое издание книги «Математические начала натуральной философии».
1688
— «Славная революция».
1689
— Ньютон — депутат палаты общин.
— «О природе кислот».
1690
— «Два приметных искажения Священного писания» и другие религиозные работы Ньютона выходят в свет во Франции.
1691
— Признаки умственного расстройства.
— Переписка с Бентли.
1693
— Выздоровление.
1694
— Чарлз Монтегю — канцлер казначейства.
— Переписка с Флемстидом.
1696
— Ньютон назначен смотрителем Монетного двора. Переезд в Лондон.
1698
— Возможная встреча с Петром I.
— Ньютон назначен мастером Монетного двора. Избран членом Парижской академии наук. Окончена Большая перечеканка.
1701
— Уистон заменяет Ньютона в качестве лукасианского профессора. Ньютон слагает с себя также обязанности члена Тринити-колледжа.
— «Шкала степеней теплоты и холода».
— Депутат палаты общин от Кембриджского университета.
1703
— Смерть Гука.
— Ньютон избран президентом Королевского общества.
1704
— Первое издание «Оптики».
1705
— Галлей на основании результатов Ньютона предсказывает возвращение кометы в 1758 году.
— Королева Анна возводит Исаака Ньютона в рыцарское звание.
— Провал на выборах в палату общин.
1708
— Начало спора с Лейбницем по поводу приоритета.
1712
— Выход атласа Флемстида.
— Комиссия по определению приоритета в открытии исчисления.
1713
— Второе издание «Начал».
1714
— Обсуждение в комитете палаты общин вопроса об определении долготы на море.
1715
— Смерть Монтегю.
— Спор Лейбница и Кларка по религиозным вопросам.
1716
— Смерть Лейбница.
— Смерть Котса.
1717
— Свадьба Кетрин Бартон и Джона Кондуитта.
— Второе издание «Оптики».
1719
— «Пузырь Южных морей».
— Смерть Флемстида.
1721
— Третье издание «Оптики».
1722
— Первый приступ болезни.
1723
— Посмертный выход «Британской небесной истории» Флемстида.
— Работа с Пембертоном над третьим изданием «Начал».
1726
— «Путешествия Гулливера» Свифта — сатира на Королевское общество.
— Третье издание «Начал».
1727
— 2 марта — В последний раз президентствует на собрании Королевского общества. Обсуждается письмо от Санкт-Петербургской Академии наук.
— 20 марта — Смерть Ньютона.
Объяснение: