В вершинах квадрата со стороной 5 см расположены точечные электрические заряды одного знака величиной 25 нКл. Найти потенциал и напряженность электростатического поля в центре
квадрата

Положение материальной точки в пространстве задается радиусвектором r

r = xi + yj + zk ,

где i, j, k – единичные векторы направлений; x, y, z- координаты точки.

 Средняя скорость перемещения

v = r/t,

где r – вектор перемещения точки за интервал времени t.

Средняя скорость движения

v = s/t,

где s – путь, пройденный точкой за интервал времени t.

 Мгновенная скорость материальной точки

v = dr/dt = vxi + vyj + vzk,

где vx = dx/dt , vy = dy/dt , vz = dz/dt - проекции вектора скорости на оси

координат.

 Модуль вектора скорости

v v v v .

2

z

2

y

2



x  

 Среднее ускорение материальной точки

a = v/t,

где v - приращение вектора скорости материальной точки за интервал

времени t..

 Мгновенное ускорение материальной точки

a = dv/dt = axi + ayj + azk,

где ax = d vx /dt , ay = d vy /dt , az = d vz

/dt - проекции вектора ускорения на

оси координат.

 Проекции вектора ускорения на касательную и нормаль к траектории

a = dv/dt, an = v

2

/R,

где v – модуль вектора скорости точки; R – радиус кривизны

траектории в данной точке.

Модуль вектора ускорения

a = a a a a a .

2

n

2 2

z

2

y

2

x   

 

 Путь, пройденный точкой





t

0

s vdt ,

где v - модуль вектора скорости точки.

 Угловая скорость и угловое ускорение абсолютно твердого тела

 = d/dt,  = d/dt,

где d - вектор угла поворота абсолютно твердого тела относительно оси

вращения (d, ,  - аксиальные векторы, направленные вдоль оси

вращения).

 Связь между линейными и угловыми величинами при вращении

абсолютно твердого тела:

v = r, an = 

2R, a = R,

где r - радиус-вектор рассматриваемой точки абсолютно твердого тела

относительно произвольной точки на оси вращения; R - расстояние от

оси вращения до этой точки.

А - 1

Радиус-вектор частицы изменяется по закону r(t) = t

2

i + 2tj – k.

Найти: 1) вектор скорости v; 2) вектор ускорения a; 3) модуль вектора

скорости v в момент времени t = 2 с; 4) путь, пройденный телом за

первые 10 с.

Решение

По определению:

1) вектор скорости v = dr /dt = 2ti + 2j;

2) вектор ускорения a = dv/dt = 2i.

3) Так как v = vxi + vyj, то модуль вектора скорости v=

2

y

2

vx  v .

В нашем случае

vx

 2t; vy

 2

, поэтому, при t = 2 с,

v= v v (2t) (2) 2 5 4,46 м/ с.

2 2 2

y

2

x     

4) По определению пути





2

1

t

t

s vdt

, где t1 =0, t2 = 10 c, а

v 2 t 1

2

  ,

тогда путь за первые 10 с

Дано:

S1 = 5 см² = 5/10000 = 0,0005 м²

L1 = 10 см = 0,1 м

m = 2100 кг

H = 1,5 м

F1 = 700 H

g = 10 Н/кг

k - ?

Очевидно, что второй поршень должен прикладывать силу равную или большую, чем вес автомобиля:

F2 ≥ P, а вес автомобиля равен:

P = Fт = m*g = 2100*10 = 21000 H = 21 кН, приравняем силу к весу:

F2 = P, тогда уравнение для гидравлического подъёмника будет:

p1 = p2 - равенство давлений,

p = F/S => F1/S1 = F2/S2.

Далее. Прикладывая силу F1, малый поршень изменяет объём жидкости в малом сосуде на (V2 - V1) = ΔV. Такое же по значению изменение объёма жидкости будет наблюдаться в большом сосуде. То есть, можно приравнять модули изменения объёмов:

|ΔV| = |ΔV| - избавимся от модуля и значка "Δ", представив изменение объёма как произведение площади на высоту:

V = S*h. За один ход малый поршень проходит путь, равный L1, значит он вытесняет из малого сосуда объём жидкости, равный

V = S1*h1, а т.к. h1 = L1, то

V = S1*L1. В большом сосуде, соответственно, большой поршень проходит путь L2, который равен h2, значит объём жидкости, вытесненной в большой сосуд равен:

V = S2*h2 = S2*L2. Равенство объёмов будет выглядеть следующим образом:

V = V

S1*L1 = S2*L2. Количество ходов обоих поршней одинаково, ведь когда малый поршень делает свой ход, большой тоже двигается. Поэтому из данного уравнения мы можем выразить путь, который проходит большой поршень за один ход. Но сначала надо выразить площадь поверхности большого поршня из полученного ранее уравнения давлений:

F1/S1 = F2/S2 => S2 = F2/(F1/S1) = (F2*S1)/F1

Выражаем путь хода большого поршня:

S1*L1 = S2*L2 => L2 = (S1*L1)/S2 = (S1*L1)/((F2*S1)/F1) = (S1*L1*F1)/(F2*S1) = (L1*F1)/F2

Теперь остаётся разделить высоту, на которую система подняла автомобиль, на путь хода большого поршня - тогда мы получим количество ходов как большого, так и малого поршня:

k = H/L2 = H/((L1*F1)/F2) = (H*F2)/(L1*F1) = (1,5*21000)/(0,1*700) = (1,5/0,1) * 30 = (15/10 : 1/10)*30 = 15*30 = 450

Можно решить в одно действие:

Площадь поверхности большого поршня больше площади поверхности малого во столько же раз, во сколько раз общий путь малого поршня (d1 = k*L1) больше общего пути большого (d2 = H). Вспомним равенство объёмов:

V = V

S1*L1 = S2*L2 - подставим вместо пути одного хода общий путь:

S1*d1 = S2*d2 => S1/(k*L1) = S2*H

k*L1/H = S2/S1, тогда, выражая S2, выражаем k и находим значение:

k*L1/H = ((F2*S1)/F1)/S1 = F2/F1 = mg/F1

k = mg/F1 : L1/H = mgH/(F1*L1) = 450

Однако проще всего задачу решить через работу:

Так как в условиях ничего не говорится о КПД подъёмника, то он равен 1. Тогда работа, которую совершает малый поршень, будет равна работе большого поршня. Работа большого поршня, в свою очередь, равна потенциальной энергии автомобиля:

А2 = F2*d2 = Еп = mgH, где d2 - общий путь большого поршня, равный H (d2 = H)

Работа малого поршня равна:

A1 = F1*d1, где общий путь d1 = k*L1, тогда составим уравнение:

A1 = A2 => F1*d1 = F2*d2 => F1*k*L1 = mgH - выражаем k и находим значение:

k = mgH/(F1*L1) = (2100*10*1,5)/(700*0,1) = 30*15 = 450

Не совсем ясно, для чего дана площадь поверхности малого поршня - она всё равно сокращается при расчётах.

ответ: 450 ходов.