Физика: Запишите уравнение колебаний заряда и силы тока

Запишите уравнение колебаний заряда и силы тока

Показать ответ

Ответ:

верадубовая2007

02.06.2020 11:55

13) $C = ( \frac{k}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{k}{\varepsilon_1 R} + \frac{k}{\varepsilon_2 R} - \frac{k}{\varepsilon_2 R_2} )^{-1}$

10) $W_\Sigma = -\frac{3kq^2}{2a}$

9) 1.843 мДж/м

Объяснение:

13. Поле в сферическом конденсаторе создаётся только зарядами внутренней обкладки, а в диэлектриках – ещё и связанным зарядом.

Для определённости, пусть R_1 < R < R_2 ,

$\varepsilon = \varepsilon_1$ для $r \in [R_1 ; R]$ и $\varepsilon = \varepsilon_2$ для $r \in [R ; R_2]$ ;

$C = \frac{q}{U}$ ;

$U = \varphi_1-\varphi_2 = \varphi_1 - \varphi + \varphi - \varphi_2$ ;

$\varphi_1 - \varphi = \frac{kq}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{kq}{\varepsilon_1 R} = kq ( \frac{1}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{1}{\varepsilon_1 R} )$ ;

$\varphi - \varphi_2 = kq ( \frac{1}{\varepsilon_2 R} - \frac{1}{\varepsilon_2 R_2} )$ ;

$U = ( \varphi_1 - \varphi ) + ( \varphi - \varphi_2 ) = kq ( \frac{1}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{1}{\varepsilon_1 R} ) + kq ( \frac{1}{\varepsilon_2 R} - \frac{1}{\varepsilon_2 R_2} )$ ;

$U = kq ( \frac{1}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{1}{\varepsilon_1 R} + \frac{1}{\varepsilon_2 R} - \frac{1}{\varepsilon_2 R_2} )$ ;

$C = \frac{q}{ kq ( \frac{1}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{1}{\varepsilon_1 R} + \frac{1}{\varepsilon_2 R} - \frac{1}{\varepsilon_2 R_2} ) } = \frac{1}{ k ( \frac{1}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{1}{\varepsilon_1 R} + \frac{1}{\varepsilon_2 R} - \frac{1}{\varepsilon_2 R_2} ) }$ ;

$C = ( \frac{k}{\varepsilon_1 R_1} - \frac{k}{\varepsilon_1 R} + \frac{k}{\varepsilon_2 R} - \frac{k}{\varepsilon_2 R_2} )^{-1}$ ;

10. Энергия взаимодействия левого заряда с центральным: $W_{LC} = -\frac{kq^2}{a}$ ;

энергия взаимодействия правого заряда с центральным: $W_{CR} = -\frac{kq^2}{a}$ ;

энергия взаимодействия левого заряда с правым: $W_{LR} = \frac{kq^2}{2a}$ ;

Полная энергия взимодействия: $W_\Sigma = W_{LC} + W_{CR} + W_{LR} = \frac{kq^2}{a} (-1-1+\frac{1}{2}) = - \frac{3kq^2}{2a}$ ;

9. Из Теоремы Гаусса, поле бесконечной струны может быть вычислено, как $E = \frac{ 2 k \eta }{r}$ , где $\eta = \frac{\Delta q}{\Delta l}$ – линейное распределение заряда по струне, удельное к длине.

В любой электростатической системе потенциал представляется функцией, противоположной к первообразной напряжённости поля, а значит, для бесконечной струны потенциал может быть вычислен, как: $\varphi = 2 k \eta \ln{ \frac{\rho}{r}}$ , где $\rho$ – радиус нулевого потенциала, который выбирается свободно (но не меняется в ходе решения задачи), и чаще всего за радиус $\rho$ нулевого потенциала уднобно принять радиус струны.

Потенциальная энергия взаимодействия куска $\Delta l$ второй струны, находящейся на расстоянии r_1 от первой $\Delta W = \varphi \cdot \Delta q = 2 k \eta \ln{ \frac{\rho}{r_1}} \cdot \eta \Delta l = 2 k \eta^2 \Delta l \ln{ \frac{\rho}{r_1}}$ .

Потенциальная энергия взаимодействия второй струны, находящейся от первой на расстоянии r_1 , удельная к длине: $( \frac{\Delta W}{\Delta l} )_1 = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{\rho}{r_1}}$ .

Потенциальная энергия взаимодействия второй струны, находящейся от первой на расстоянии r_2 , удельная к длине: $( \frac{\Delta W}{\Delta l} )_2 = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{\rho}{r_2}}$ .

Работа, удельная к длине, совершаемая полем при увеличении расстояния между струнами от r_1 до r_2 равна разности потенциальных энергий этих конфигураций, удельных к длине:

$( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{12} = ( \frac{\Delta W}{\Delta l} )_1 - ( \frac{\Delta W}{\Delta l} )_2 = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{\rho}{r_1}} - 2 k \eta^2 \ln{ \frac{\rho}{r_2}} = 2 k \eta^2 ( \ln{ \frac{\rho}{r_1}} - \ln{ \frac{\rho}{r_2}} )$ ;

$( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{12} = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{\rho r_2}{r_1 \rho}} = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{r_2}{r_1}}$ ;

Работа, удельная к длине, совершаемая полем при увеличении расстояния между струнами от r_2 до r_3 будет равна: $( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{23} = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{r_3}{r_2}}$ ;

Учитывая, что r_2 = 2 r_1 ,

$( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{12} = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{2 r_1}{r_1}} = 2 k \eta^2 \ln{2}$ ;

и, кроме того, поскольку: r_3 = r_2 + r_1 = 2r_1 + r_1 = 3r_1 , то:

$( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{23} = 2 k \eta^2 \ln{ \frac{3 r_1}{2r_1}} = 2 k \eta^2 \ln{1.5}$ ;

Стало быть:

$( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{23} / ( \frac{\Delta A}{\Delta l} )_{12} = \frac{\ln{1.5}}{\ln{2}} = \frac{\ln{3}-\ln{2}}{\ln{2}} = \frac{\ln{3}}{\ln{2}}-1 = \log_{2}{3}-1$ ;