1. а) Могут ли биссектрисы треугольника пересекаться под прямым углом? б) Один из углов треугольника равен a . Найдите угол между биссектрисами, проведёнными из вершин двух других углов данного треугольника. в) Один из углов треугольника равен a(a неравен 90) Найдите угол между прямыми, содержащими высоты, проведённые из вершин двух других углов треугольника. (Обратите внимание, что придётся разобрать 2 случая: a>90 и a<90)
2)Медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что треугольник прямоугольный.
3) а) Найдите сумму всех углов выпуклого пятиугольника. Найдите сумму всех внешних углов выпуклого пятиугольника, взятых по одному при каждой вершине.
б) Решите пункт а), заменив пятиугольник на n-угольник
4)Какие значения может принимать
(а) наибольший угол треугольника;
(б) наименьший угол треугольника;
(в) средний по величине угол треугольника?
5)(а) Докажите, что диаметр окружности, перпендикулярный её хорде, делит эту хорду пополам.
(б) Сформулируйте обратное утверждение. Верно ли оно?
6)(а) Докажите, что хорды окружности, находящиеся на одном и том же расстоянии от её центра, равны между собой.
(б) Верно ли обратное утверждение?
7.
(а) Докажите, что вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.
(б) Верно ли, что если вокруг параллелограмма можно описать окружность, то он прямоугольник?
8)(а) Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
(б) Верно ли, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то он ромб?
9.
Периметр ромба равен 24, а его высота равна 3. Найдите углы ромба.
10)На сторонах AB, BC, CD, DA четырёхугольника ABCD отмечены точки M, N, P, Q соответственно, причём AM = CP , BM = DP ,
BN = DQ , CN = AQ . Верно ли, что ABCD и MNPQ – параллелограммы?
11)Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекают прямую CD в точках E и F соответственно. При этом известно, что CF =9 , а EF = 14 . Найдите стороны параллелограмма.
1 Треугольник АВС, АВ=ВС=10, АС=12, ВН-высота= медиана, АН=НС=1/2АС=12/2=6, треугольник АВН прямоугольный, ВН=корень(АВ в квадрате-АН в квадрате)=корень(100-36)=8, площадьАВС=1/2АС*ВН=1/2*12*8=48
2. площадь параллелограмма=сторона1*сторона2*sin150=12*16*1/2=96
3. трапеция АВСД, АВ=СД=13, уголА=уголдД, ВС=10, АД=20, проводим высоты ВН и СК на АД, НВСК-прямоугольник, ВС=НК=10, треугольник АВН=треугольник КСД по гипотенузе и острому углу, АН=КД=(АД-НК)/2=(20-10)/2=5, ВН-высота трапеции=корень(АВ в квадрате-АН в квадрате)=корень(169-25)=12, площадьАВСД=1/2(ВС+АД)*ВН=1/2*(10+20)*12=180
Параллельный перенос задается формулами
\begin{gathered} < var > x'=x+a;\\ y'=y+b;\\ z'=z+c < /var > \end{gathered}
<var>x
′
=x+a;
y
′
=y+b;
z
′
=z+c</var>
Так как при параллельном переносе точка А(-2;3;5) переходит в точку А1(1;-1;2), то
\begin{gathered} < var > 1=-2+a;\\ -1=3+b;\\ 2=5+c < /var > \end{gathered}
<var>1=−2+a;
−1=3+b;
2=5+c</var>
\begin{gathered} < var > a=1+2;\\ b=-1-3;\\ c=2-5 < /var > \end{gathered}
<var>a=1+2;
b=−1−3;
c=2−5</var>
\begin{gathered} < var > a=3;\\ b=-4;\\ c=-3 < /var > \end{gathered}
<var>a=3;
b=−4;
c=−3</var>
Данный параллельный перенос задается формулами
\begin{gathered} < var > x'=x+3;\\ y'=y-4;\\ z'=z-3 < /var > \end{gathered}
<var>x
′
=x+3;
y
′
=y−4;
z
′
=z−3</var>
Поэтому точка В(-4;-3;1) перейдет в точку c координатами
\begin{gathered} < var > x'=-4+3;\\ y'=-3-4;\\ z'=1-3 < /var > \end{gathered}
<var>x
′
=−4+3;
y
′
=−3−4;
z
′
=1−3</var>
\begin{gathered} < var > x'=-1;\\ y'=-7;\\ z'=-2 < /var > \end{gathered}
<var>x
′
=−1;
y
′
=−7;
z
′
=−2</var>
т.е. В1(-1;-7;-2)