1)Бічна сторона рівнобедреного трикутника ділиться точкою дотику кола у відношенні 2 : 3, рахуючи віл вершини кута при основі трикутника. Знайдіть основу трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 15 см.
6 см
12 см
18 см
15 см
2)До кола, вписаного в рівнобедрений трикутник АВС, проведено дотичну, яка перетинає бічні сторони АВ і АС у точках М і К відповідно. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо периметр трикутника АМК дорівнює 14 см і АВ = АС = 10 см.
28 см
32 см
24 см
26 см
3)Коло, вписане в трикутник АВС, дотикається до сторони АВ у точці D. Знайдіть сторону ВС, якщо AD = 3 см, а периметр трикутника АВС дорівнює 22 см.
10 см
12 см
14 см
8 см
26
Объяснение:
1) Из рисунка следует, что внутренние стороны треугольников основания являются средними линиями большого треугольника, так как соединяют середины сторон, и, следовательно, равны:
1/2 стороны, обозначенной 2 штрихами (у серого треугольника);
1/2 стороны, обозначенной 1 штрихом (у белого треугольника).
Таким образом, 3 стороны белого треугольника равны 3 сторонам серого треугольника, - значит, эти треугольники равны.
2) Фигура, обозначенная S, является параллелограммом, так как его противоположные стороны равны (это вытекает из выше доказанного равенства треугольников) и параллельны (средние линии параллельны основаниям). Следовательно, S в 2 раза больше площади серого треугольника:
S = 13 · 2 = 26
Пусть A и B – две соседние вершины правильного многоугольника. Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин A и B. Пусть O – точка их пересечения. Треугольник AOB – равнобедренный с основанием AB и углами при основании, равными α / 2, где α – градусная мера угла многоугольника. Соединим точку O с вершиной C, соседней с B. Треугольники AOB и BOC равны по первому признаку равенства треугольников (теорема 4.1), так как AB = BC, OB – общая сторона, OBC = α / 2 = OBA. Отсюда имеем OC = OB = OA. OCB = α / 2. Так как C = α, то CO – биссектриса угла C. Аналогично, рассматривая последовательно вершины, соседние с ранее рассмотренными, получаем, что каждый треугольник, у которого одна сторона – сторона многоугольника, а противолежащая вершина – точка O, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на основания. Отсюда следует, что все вершины треугольника равноудалены от точки O на расстояние длины боковой стороны и лежат на одной окружности, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром в точке O и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины O. Теорема доказана.