1. Чи можна вписати коло у чотирикутник ABCD, кути якого A, B, C, D пропорційні числам 5, 7, 8, 4 ?
2. Чотирикутник ABCD вписано в коло. Діагональ АС цього чотирикутника є
діаметром кола. Знайдіть кут між діагоналями чотирикутника, що лежить проти
сторони АD, якщо < BAC = 23°,< DAC = 52°.
3. Три кути чотирикутника, вписаного в коло, взяті у порядку слідування ,
відносяться як 2:6:7. Знайдіть кути чотирикутника.
4. У прямокутнику ABCD CD = 10 см, < ADB = 30°. Знайдіть радіус кола, описаного
навколо прямокутника.
5. У гострокутному трикутнику АВС проведено висоти АК і ВМ, які перетинаються в
точці О. Доведіть, шо < MOC = < MKC.

Найдем другой угол параллелограмма зная, что сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180°:

180° -60° = 120°

Рассмотрим треугольники образованные боковыми сторонами и диагоналями.  

Треугольник со сторонами 12 и 20 см и углом между ними 60°: третья сторона d1 будет диагональю параллелограмма.

Используем теорему косинусов ("Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними"):

d1 = √(12²+20²-2*12*20*cos60°) = √(144+400-480*0.5) = √304=√(16*19)=4√19

Треугольник со сторонами 12 и 20 см и углом между ними 120°: третья сторона d2 будет диагональю параллелограмма.

d2 = √(12²+20²-2*12*20*cos120°) = √(144+400+480*0.5) = √784 = 28

Объяснение:

  Дан треугольник с отношением сторон 3:4:5. Это отношение сторон "египетского"  треугольника. ∆ АВС- прямоугольный, АВ и АС - его катеты, ВС - гипотенуза, Н - середина ВС. 

  Центром  окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, является  середина его гипотенузы. ВН=СН=5:2=2,5.

Обозначим центр сферы О. 

Н - середина гипотенузы, АН - медиана ∆ АВС, и по свойству медианы прямоугольного треугольника АН=ВН=СН, т.е. все эти точки лежат на описанной окружности.  

Сфера касается ВС в её середине,  радиус ОН сферы касается и, значит,  перпендикулярен плоскости  ∆ АВС в точке Н, следовательно, перпендикулярен любой прямой, проходящей через Н. Искомые расстояния  - наклонные с равными проекциями АН=ВН=СН.  Если равны проекции наклонных к плоскости, проведенных из одной точки, то равны и наклонные. ⇒ ОА=ОВ=ОС.

По т.Пифагора ОА=√(ОН²+АН²)=√(36+6,25)=6,5 (ед.длины)