1.Дан куб АВСДА1В1С1Д1 с ребром равным (корень из 2) . Найдите скалярное произведение

векторов CB1 и CД1. [4]

2.Даны векторы а (-1;3;2) и b(2;-1;1).

а) найдите скалярное произведение векторов (а+ b)(a-b). [2]

б) найдите косинус угла между векторами а и b. [2]

3. Дан треугольник АВС с вершинами А (4;-3;2), В (1;2;2), С (6;5;4). Докажите

перпендикулярность векторов АВ и BС. [5]

4. Сфера задана уравнением (х - 2) ² + (у +5) ² +z ²= 9.

а) выпишите координаты центра сферы и найдите радиус; [2]

б) проверьте принадлежит ли этой сфере точка А (4;-3;-1) [1]

5. Составит каноническое параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки

А (-2;-1;5),В (-4;3;-10). [4]

Прежде всего отмечу ошибку в условии - по смыслу в основании не прямоугольник а треугольник.

Очевидно по теореме Пифагора гипотенуза основания равна 5.

Меньшая боковая грань - это грань с катетом 3 в основании. Ее диагональ по условию равна 5. По той же теореме Треугольник образованный катетом 3 диагональнью боковой грани раной 5 и высотой призмы - прямоугольный и из него очевидно по теореме Пифагора высота призмы равна 4.

Площадь боковой поверхности равна произведению высоты призмы 4 на периметр основания 3+4+5=12.

Следовательно искомая площадь равна 4*12=48.

 Просто постройте какой-то треугольник и проведите в нем биссектрису угла А и медиану к стороне АС. 

Смотрите, как это решается.

Если площадь АВС равна S (по условию это 198, потом подставим), то площадь АВM равна S/2. 

Sabm = S/2

(Если у двух треугольников общая высота - в данном случае это растояние от В до АС, то отношение площадей равно отношению сторон, к которым эта высота проведена - это будет использовано еще несколько раз)

Далее, CL/BL = 4/7 = AC/AB, и АМ = АС/2, поэтому АМ/AB = 2/7, но это означает, что MK/KB = 2/7;

То есть МК/BM = 2/(2 + 7) = 2/9 и KB/BM = 7/9 (ясно, что в сумме 1 и отношение 2/7)

Но это означает, что площадь АМK составляет 2/9 площади АВМ (высота общая, расстояние от А до ВМ, стороны относятся как МК/BM = 2/9)

Samk = Sabm*2/9 = S/9;

Ну, и CL/BL = 4/7, поэтому CL/CB = 4/(4 + 7) = 4/11;

то есть площадь треугольника ACL соствляет 4/11 площади АВС (тот же прием - высота общая - это расстояние от А до ВС, стороны относятся как 4/11).

Sacl = S*4/11;

Площадь MCLK равна разности площадей треугольников ACL и AMK 

Smclk = Sacl - Samk = S*4/11 - S/9;

Ну, и осталось подставить S = 198.

Smclk = 198*4/11 - 198/9 = 18*4 - 22 = 72 - 22 = 50;

 Поставь лучшее решение!