1) Дан квадрат АВСD со стороной, равной а. На стороне СD взята точка Т так, что СТ : ТD = 4 : 1. Прямая АТ пересекает сторону ВС в точке К. Сравните площадь квадрата АВСD и площадь треугольника СDК

2) В треугольнике АВС проведена прямая МК параллельно стороне АС. М лежит на АВ, К лежит на ВС. МВ = 9, ВК = 11, МК = 10. ВМ : АМ = 2 : 1

• Докажите, что треугольники АВС и ВМК подобны

• Найдите площадь ВМК

• Найдите площадь АВС

Возьмём теорему Фалеса, как основу для решения данной задачи (ибо только она подходит для решения)

Надеюсь, что я правильно понял, что прямая MN параллельно прямой NP.

Составил рисунок, наиболее подходящий для этой задачи (по другому тоже есть альтернативный вариант, но он рассматривается в 11-ых класса  в разделе Физика)

Из следствия теоремы Фалеса, из курса 8 класса мы вспоминаем, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, то есть KO : MK = PO : NP из этого выражаем =>

=> KO = MK · - подставляем => KO = 15 · = 6

ответ: KO = 6 см.

ответ:  BC = 9 см.

Объяснение:  Обозначим равнобедренную трапецию буквами ABCD. Тогда CM - высота, которая делит основание AD на указанные отрезки.

AB и CD - боковые стороны (между собой равные по свойству).

AD - большее основание, BC - меньшее основание.

Проведём из вершины B к большему основанию трапеции AD вторую высоту BK.

BK ⊥ AD; CM ⊥ AD ⇒ BK ║ CM ⇒ BK=CM (т.е. KBCM - прямоугольник).

Рассмотрим прямоугольные ΔABK и ΔMCD. Они равны (их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных треугольников, исходя из того, что трапеция ABCD - равнобедренная).

⇒ AK = MD = 8 см.

AD = AK + KM + MD = 25 см ⇒ KM = AD - (AK + MD) = 25 - 16 = 9 см.

Т.к. KBCM - прямоугольник ⇒ KM = BC = 9 см.