1. Дан равнобедренный треугольник с вершиной B. Точка M — середина стороны BC. Касательная к описанной окружности треугольника ABM, проведённая в точке B, пересекает продолжение стороны AC (за точку C) в точке E. Докажите, что AC = CE.

А)
 ∠АОВ = ∠СОВ = 110°, значит
∠AOE = ∠COE = 180° - 110° = 70° как углы, смежные с равными углами
 
В треугольнике АОС OE является высотой и биссектрисой, значит ΔАОС равнобедренный, ⇒

АО = ОС,
∠АОВ = ∠СОВ - по условию,
ОВ - общая сторона для треугольников АОВ и  СОВ, следовательно
ΔАОВ = ΔСОВ по двум сторонам и углу между ними. ⇒

АВ = ВС, т.е. ΔАВС равнобедренный.

Найти длины боковых сторон по таким данным невозможно.

б)
 ∠BOD = ∠AOE = 70° как вертикальные
ΔBOD: ∠ОВD = 180° - 90° - 70° = 20°.

Так как ΔАВС равнобедренный, BE - высота и биссектриса, значит
∠АВС = 2·∠ОВD = 40°.

∠ВАС = ∠ВСА = (180° - 40°)/2 = 70° так как углы при основании равнобедренного треугольника равны.

ответ: 40°, 70°, 70°.

Возможны 2 варианта - точки B и D лежат либо по одну сторону от AC, либо по разные (см. рисунок, окружность не рисовал из-за отсутствия циркуля).

Точки лежат по одну сторону - так как CD=AD, треугольник ACD равнобедренный. Угол ADC опирается на диаметр AC, значит, он прямой. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы равны 45, 45, 90. Значит, угол ACD равен 45 градусам, а угол BCD равен 45-30=15 градусам. Угол BAD равен углу BCD, так как они опираются на одну и ту же дугу BD. Значит, оба угла равны 15 градусам.

Точки лежат по разные стороны - треугольник ADC равнобедренный прямоугольный с углами 45, 45, 90. Треугольник ABC также прямоугольный, если один из острых углов равен 30 градусам, то второй - CAB - будет равен 90-30=60 градусам. Тогда угол BAD равен 45+60=105 градусам, а угол BCD равен 45+30=75 градусам.