1. Дан треугольник EFG Определить а) углы ДEFG, прилежащиек стороне EF.
б) угол заключенный между сторонами GE и EF
г) угол, заключенный между сторонами EF и FG;
д) Между какими сторонами в ДEFG заключен угол G

Медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому

Вектор CM=2\3*вектор CL

Вектор CB=вектор CA+вектор AB=-вектор AC+вектор AB

Вектор CD=вектор CA+вектор AD=-вектор AC+вектор AD

Вектор EM=вектор EС+вектор СM=1\2*вектор AC+2\3 *вектор CL=1\2*вектор AC+2\3*1\2*(вектор CB+ вектор CD)= 1\2*вектор AC+1\3*(вектор CB+ вектор CD)=1\2*вектор AC+1\3*(-вектор AC+вектор AB-вектор AC+вектор AD)=

=-1\6 *вектор AC+1\3*вектор AB+1\3*вектор AD

ответ: -1\6 *вектор AC+1\3*вектор AB+1\3*вектор AD

Два решения

1)

Из треугольников  ABC, ACD соответственно по теор синусов  

CAB=a

CAD=b

BC/sina=AC/sin(a+2b)  

CD/sinb=AC/sin(2b+a)  

но BC=CD , тогда

sina/sin(a+2b) = sinb/sin(b+2a)

sina*sin(b+2a) - sinb*sin(a+2b) = 0

cos(a-b-2a)-cos(b+3a) - cos(b-a-2b)+cos(a+3b)=0

cos(a+3b)=cos(b+3a)

a+3b=b+3a

2b=2a

a=b  

CAB=CAD

 

2)

 Пусть AECF точка O пересечения диагоналей и OE=OF рассмотрим симметрию относительно точки O, точка Е перейдет в точку F, точка B в точку D по определению симметрии так как  CB=CD точка А перейдет в себя, тогда  AB=AD тогда  треугольники ABC=ACD  откуда

 180-2a-b=180-2b-a

3a=3b

a=b