1 Дана пирамида, у которой плоскость основания со всеми боковыми гранями образует равные углы. Которые из утверждений верны?
1)это правильная пирамида
2)вершина проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды
3)основанием пирамиды может быть правильный многоугольник
4)основанием пирамиды не может быть прямоугольник, который не является квадратом
2 Дана пирамида, у которой все боковые грани с плоскостью основания образуют равные углы.
Какие из утверждений верны?
1)вершина пирамиды проецируется в точку пересечения биссектрис основания
2)углы, которые образуют высота пирамиды с высотами боковых граней пирамиды, равны
3)данная пирамида — правильная
4)основанием пирамиды может быть правильный многоугольник
3 У пирамиды все углы между боковыми рёбрами и плоскостью основания равны. Известно, что её основанием является прямоугольный треугольник. Куда проецируется вершина данной пирамиды?
в точку пересечения высот
в любую точку треугольника основания
в середину большей стороны
в точку пересечения медиан
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301