А) Пусть дана равнобедренная трапеция АВСД, где АД=30 дм, АВ=СД=10 дм, ∠А=∠д=56°. Найти S.
Проведем высоты ВН и СК. Найдем АН из ΔАВН. ∠АВН=90-56=34° По теореме синусов sin 90°\AB=sin 34°\AH AH=10*0,5592=5,6 дм; КД=АН=5,6 дм. Найдем высоту ВН по теореме Пифагора: ВН²=10²-5,6²=100-31,36=68,64; ВН=8,3 дм. ВС=АД-АН-КД=30-5,6-5,6=18,8 дм. S=(ВС+АД):2*ВН=(18,8+30):2*8,3=203 дм² ответ: 203 дм²
б) Пусть дана трапеция АВСД - равнобедренная, ВС=20 дм, ВН=15 дм, ∠А=∠Д=34° Найти S.
Проведем высоты ВН и СК=15 дм. Найдем АВ из ΔАВН. sin34°\15=sin90°\АВ; АВ=15\0,5592=27 дм. АН²=АВ²-ВН²=729-225=504; АН=22,4 дм АН=КД=22,4 дм АД=22,4 + 20 + 22,4 = 64,8 дм
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL По условию KL = KC + LC Отрезки касательных проведенные из одной и той же точки к одной и той же окружности равны. Тогда KC = KA LC = LB Следовательно KL = KC + LC = KA + LB Подставим это в первое равенство Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL = = MK + ML + KA + LB = = MK + KA + ML + LB Очевидно что MK + KA = MA ML + LB = MB Тогда Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL = MA + MB Последнее выражение (MA + MB ) не зависит от С Следовательно периметр треугольника KLM не зависит от выбора точки С что и требовалось доказать.
Найти S.
Проведем высоты ВН и СК.
Найдем АН из ΔАВН. ∠АВН=90-56=34°
По теореме синусов sin 90°\AB=sin 34°\AH
AH=10*0,5592=5,6 дм; КД=АН=5,6 дм.
Найдем высоту ВН по теореме Пифагора:
ВН²=10²-5,6²=100-31,36=68,64; ВН=8,3 дм.
ВС=АД-АН-КД=30-5,6-5,6=18,8 дм.
S=(ВС+АД):2*ВН=(18,8+30):2*8,3=203 дм²
ответ: 203 дм²
б) Пусть дана трапеция АВСД - равнобедренная, ВС=20 дм, ВН=15 дм, ∠А=∠Д=34°
Найти S.
Проведем высоты ВН и СК=15 дм.
Найдем АВ из ΔАВН.
sin34°\15=sin90°\АВ; АВ=15\0,5592=27 дм.
АН²=АВ²-ВН²=729-225=504; АН=22,4 дм
АН=КД=22,4 дм
АД=22,4 + 20 + 22,4 = 64,8 дм
S=(20+64,8):2*15=636 дм²
ответ: 636 дм²
По условию KL = KC + LC
Отрезки касательных проведенные из одной и той же точки к одной и той же окружности равны.
Тогда
KC = KA
LC = LB
Следовательно KL = KC + LC = KA + LB
Подставим это в первое равенство
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL =
= MK + ML + KA + LB =
= MK + KA + ML + LB
Очевидно что
MK + KA = MA
ML + LB = MB
Тогда
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL = MA + MB
Последнее выражение (MA + MB ) не зависит от С
Следовательно периметр треугольника KLM не зависит от выбора точки С
что и требовалось доказать.