1. Диагональ ВD прямоугольника АВСD равна 30 см, а сторона АВ – 17 см. Найдите а) тангенс угла АВО, где О – точка пересечения диагоналей; б) площадь прямоугольника.
2. Диагонали трапеции пересекаются, и одна из них точкой пересечения делится в отношении 2 : 7. Найдите основания трапеции, если их сумма равна 36 см.
3. Хорда длиной 30 см, перпендикулярная диаметру, делит его в отношении 1 : 9. Найдите диаметр окружности.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника = 180°.
Сумма углов, прилегающих к одной стороне трапеции = 180°, следовательно, углы при основаниях вписанной трапеции равны.
В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию
Сделаем рисунок и обозначим вершины трапеции АВСД.
ВС - меньшее основание. Центр окружности - О.
Угол ВДА опирается на ту же дугу, что центральный угол ВОА, равный по условию 120°.
Градусная мера вписанного угла вдвое меньше центрального.
Угол ВДА=САД=60°
Опустим из В высоту ВН.
Высота равнобедренного треугольника делит основание на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований, т.е. средней линии.
НД= длине средней линии трапеции.
В прямоугольном ∆ ВНД угол НВД= 30°.
Катет НД противолежит углу НВД, равному 30°.
НД=ВД:2=0,5 d
В равнобокой трапеции противоположные углы в сумме дают 180°
Остаётся только один вариант, что 160° – это сумма углов при основании.
В равнобокой трапеции углы при основании равны, а если сумма двух равных углов даёт 160°, то стало быть, каждый из них равен 80°.
Поскольку в любой трапеции углы при боковой стороне в сумме дают 180°, то значит другие два угла при другом основании равны по 100°.
В задаче спрашивается про меньший угол. Стало быть ответ – 80°.