1. Дві сторони трикутника дорівнюють 8 см і 12 см, а висота, проведена до меншої з них, — 3 см. Знайдіть висоту, проведену до більшої сторони.
а) 2 см
б) 4.5 см
в) 4 см
г) 10 см
2. Периметр квадрата дорівнює 36 см. Знайдіть його площу.
а) 16 см2
б) 72 см2
в) 81 см2
3. Знайдіть площу ромба зі стороною 12 см і гострим кутом 30°.
а) 144 см2
б) 72 см2
в) 72√3см2
г) 36см2
4. Площа прямокутника — 48 см2, одна з його сторін дорівнює 6 см. Знайдіть периметр прямокутника.
а) 28 см
б) 30 см
в) 56 см
5. Знайдіть площу прямокутника зі стороною 5 м і діагоналлю 13 м
а) 60 см2
б) 60 м2
в) 156 м2
г) 65 м2
Радіус кола, яке вписане в трапецію, дорівнює половині суми довжин основ. Таким чином, радіус кола становить половину суми меншої і більшої основ трапеції:
Р = (6 + х) / 2,
де х - довжина більшої основи трапеції.
Ми знаємо, що радіус кола дорівнює 4 см, тому можемо записати рівняння:
4 = (6 + х) / 2.
Щоб знайти х, спочатку помножимо обидві частини рівняння на 2:
8 = 6 + х.
Потім віднімемо 6 від обох боків рівняння:
х = 8 - 6 = 2.
Тепер, коли відомі довжини основ трапеції, можемо обчислити її площу. Формула для обчислення площі прямокутної трапеції:
S = (a + b) * h / 2,
де a і b - довжини основ, h - висота трапеції.
Застосуємо цю формулу, використовуючи a = 6 см, b = 2 см (знайдену довжину більшої основи) і h = 4 см (радіус кола):
S = (6 + 2) * 4 / 2 = 8 * 4 / 2 = 16 см².
Отже, площа трапеції дорівнює 16 см².
Чтобы доказать, что линия AR перпендикулярна плоскости MNPQ, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма и треугольника.
Обратимся к треугольнику AMQ. Поскольку M и N являются серединами сторон AB и BC соответственно, то отрезок MN параллелен и равен половине отрезка AC. А по свойству параллелограмма, диагонали параллелограмма делятся пополам. Таким образом, точка R, являющаяся точкой пересечения отрезков MQ и NP, является серединой отрезка AC.
Аналогичные рассуждения можно провести для треугольников BNP, CPM и DQN, и прийти к выводу, что точка R является серединой отрезков BD, CD и AD соответственно.
Таким образом, линия AR проходит через середины всех ребер тетраэдра ABCD, а значит, она является медианой этого тетраэдра. Поскольку медиана пересекает плоскость MNPQ в ее центре (точке пересечения медиан), то линия AR будет перпендикулярна этой плоскости.
Таким образом, мы доказали, что линия AR перпендикулярна плоскости MNPQ.