1.Гіпотенуза прямокутного трикутника 10 см, а катети відносяться як 2:3. Знайти катети цього трикутника. 2. Один з катетів прямокутного трикутника 12 см, а гіпотенуза більша іншого катета на 8 см. Знайти периметр трикутника

Пусть сторона исходного треугольника равна a. По формуле площади равностороннего треугольника, S=√3a²/4=25√3. Тогда площадь меньшего треугольника равна √3a²/20=5√3. 

Докажем, что меньший треугольник также равносторонний. Так как он отсекается прямой, параллельной стороне исходного треугольника, два угла маленького треугольника, прилежащие к этой прямой, соответственно равны двум углам исходного треугольника и равны 60 градусам, а третий угол совпадает с углом исходного треугольника, так что тоже равен 60 градусам, что и требовалось.

Теперь мы  опять можем воспользоваться формулой площади равностороннего треугольника. Пусть сторона меньшего треугольника равна b, тогда его площадь будет равна √3b²/4. Значит, √3b²/4=5√3, откуда b²=20, b=2√5. Периметр равностороннего треугольника равен его утроенной стороне, то есть P=3b=6√5

ответ: 6√5

рассматриваем в плоскости- около треугольника АВС описана окружность с центом О1, О-центр шара, ОО1 перпендикулярна плоскости АВС=4, треугольник АВС прямоугольный, АС=2, ВС=4*корень2, АВ=6, если сумма квадратов двух сторон=квадрату большей стороны треугольник прямоугольный, АС в квадрате+ВС в квадрате=4+32=36, АВ в квадрате=6*6=36, центр описанной окружности середина гипотенузы АВ, АО1=ВО1=6/2=радиус окружности, треугольник АОО1 прямоугольный, АО (радиус сферы)=(АО1 в квадрате+ОО1 в квадрате)=корень(9+16)=5