1)Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 7 см, и наклонная; угол между ними равен 45о. Найти длину проекции наклонной

5 см
7 см
14 см
21 см
10 см

2)Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Найти длины проекций наклонных, если одна из них на 9 см больше другой

14 см и 8 см
7 см и 10 см
4 см и 11 см
6 см и 15 см
10 см и 15 см

3)Прямые АВ, АС, АД попарно перпендикулярны. Найти отрезок СД, если ВД=9м, ВС=16м, АД=5м

10 м
15 м
13 м
12 м
14 м

4)Дана плоскость, из некоторой точки проведены к этой плоскости две наклонные 6,5 см и 7 см. Проекция второй их них на плоскость равна 3 см. Найти проекцию первой наклонной

6 см
2,5 см
4 см
5,5 см
6,5 см

AB=CD - по свойству параллелограмма ABCD

AB=2*DE=CD ⇒ точка Е - середина CD

CE=ED=AD=DM=MG ⇒ CD=DG

четыр-ник ECFG - параллелограмм

CE || FG, так как ED || FG - по свойству параллелограмма EDGFCE=FG, так как ED=FG - по свойству параллелограмма EDGF

Значит, СF=EG - по свойству параллелограмма ECFG

ΔCDG - равнобедренный ⇒ CM=GE - медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника

Поэтому CF=CM

Продолжим прямую СM до пересечения с прямой FG в точке P

ΔCMD=ΔPMG - по стороне и двум прилежащим к ней углам

DM=MG - по условию∠CMD=∠PMG - как вертикальные углы∠CDG=∠PGD - как накрест лежащие углы при CD || PG и секущей DG

Значит, CM=MP, CD=PG

Рассмотрим ΔСPF:  CF=CM=MP,  PG=2*FG

FG/PG=1/2 и CF/CP=1/2

Известное свойство биссектрисы:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам

Это свойство работает и в обратную сторону.

Следовательно, CG - биссектриса угла MCF, ч.т.д.

2) Дан треугольник с вершинами A(0;-1;-1), B(2;0;-3), D(-5;-5;3).
    Площадь треугольника равна половине векторного произведения                 двух векторов, выходящих из одной точки.
    Вектор АВ (2; 1; -2).
    Вектор АС (-5; -4; 4).
     Векторное произведение a × b =
    =  {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}=
    = ((4-8);(10-8); (-8-(-5))) = (-4; 2; -3).
    Модуль ахв = √((-4)²+2²+(-3)²) = √(16+4+9) = √29 ≈5,3851648.
    Площадь равна (а*в)/2 = 5,385165/2 =  2,6925825.
    
    Условие перпендикулярности векторов: 
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение
 xaxb + yayb + zazb= 0.
AB(2;1;-2).
СД(-2;2;-1).    2*(-2)+1*2+(-2)*(-1) = -4+2+2 = 0.
Но длина высоты равна удвоенной площади треугольника, делённой на сторону.
Для этого находим длину стороны АВ:
АВ = √(2²+1²+(-2)²) = √(4+1+4) = √9 = 3.
СД = 2S/AB = 2*2,6925825/3 =  1,7950549.