1. изобразите плоскость α и трапецию abcd (bc || ad) на ней. пусть точка m вне плоскости α, а точка k на плоскости α, но вне трапеции abcd. изобразите прямые mp и ke, пересекающие прямую bc в точках p и e соответственно. как расположены прямые mp и ke по отношению: а) к плоскости α; б) к прямой ad?
2. изобразите куб abcda1b1c1d1 и точки m и n, принадлежащие ребрам c1c и ab соответственно. изобразите сечение куба плоскостью nb1m.
3. верно ли утверждение: через сторону треугольника и центр описанной вокруг него окружности проходит плоскость и притом единственная?
в пространстве расположены три точки a, b и c, не лежащие на одной прямой. точка a удалена от точек b и c на 10 см, а от прямой bc на 8 см. найдите расстояние от b до c.
вариант 2
изобразите плоскость α и параллелограмм abcd на ней. пусть точка p вне плоскости α, а точка e на плоскости α, но вне параллелограмма abcd. изобразите прямые pm и ek, пересекающие прямую ab в точках m и k соответственно. как расположены прямые pm и ek по отношению: а) к плоскости α; б) к прямой cd?
изобразите куб abcda1b1c1d1 и точки m и n, принадлежащие ребрам aa1 и bc соответственно. изобразите сечение куба плоскостью nb1m.
верно ли утверждение: через медиану треугольника и центр вписанной в него окружности проходит плоскость и притом единственная?
в пространстве расположены три точки a, b и c, не лежащие на одной прямой. точка b удалена от точек a и c на 10 см. расстояние от a до c равно 16 см. найдите расстояние от точки b до прямой ac.
a) Параллельные отсекают от угла подобные треугольники.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
MBN~ABC, MN/AC=1/2, S(MBN)= 1/4 S(ABC)
EBF~ABC, EB/AB=1/3, S(EBF)= 1/9 S(ABC)
S(MEFN) =S(MBN)-S(EBF) =(1/4 -1/9)S(ABC) =5/36 S(ABC)
б) Площади треугольников с равным углом относятся как произведения прилежащих сторон.
S(DBK)/S(ABC) =DB*BK/AB*BC =DB/AB *BK/BC =1/3 *4/7 =4/21
S(KCM)/S(BCA) =KC*CM/BC*CA =3/7 *1/4 =3/28
S(MAD)/S(CAB) =MA*AD/CA*AB =3/4 *2/3 =1/2
S(DKM) =S(ABC)-S(DBK)-S(KCM)-S(MAD) =
(1 -4/21 -3/28 -1/2)S(ABC) =(84-16-9-42)/84 *S(ABC) =17/84 S(ABC)
Значит, РС+AD=2·15
РС+25=30
РС=5
ВС=ВР+РС
25=ВР+5
ВР=25-5=20
∠PAD=∠BPA - внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей АР.
∠ВАР=∠РАD - биссектриса АР делит угол А пополам.
Значит ∠BPA =∠ВАР и треугольник АВР - равнобедренный АВ=ВР=20
Противоположные стороны параллелограмма равны CD=AB=20
Из треугольника АСD по теореме косинусов:
АС²=AD²+DC²-2·AD·DC·cos ∠D
(5√46)²=25²+20²-2·25·20·cos ∠D
1150=625+400-1000·cos ∠D
cos ∠D =-0,125
Противоположные углы параллелограмма равны
∠В=∠D
Из треугольника АBP по теореме косинусов:
АP²=AB²+BP²-2·AB·BP·cos ∠B
АP²=20²+20²-2·20·20·(-0,125)
АP²=400+400+100
АP²=900
AP=30
Р( трапеции АРСD)= АР+РС+СD+AD=30+5+20+25=80
ответ. Р=80