1. какой фигурой является гмт, принадлежащих углу и удаленных от его вершины на 3 см? 2. укажите гмт, равноудаленных от вершин данного треугольника.3. укажите гмт, равноудаленных от сторон данного треугольника.4. в каком отношении делит диаметр хорду, которой он перпендикулярен? 5. диаметр ав пересекает хорду cd, отличную от диаметра, в ее середине. найдите угол между прямыми ав и cd.6. хорда ав окружности с центром в точке о равна радиусу этой окружности. найдите угол оав.7. хорда ав окружности перпендикулярна радиусу ос и делит его пополам. найдите угол оав.8. две прямые касаются окружности в точках а и в, где а и в – концы диаметра. каково взаимное расположение этих касательных? 9. из точки а к окружности с центром о проведены две касательные ам и аn, м и n – точки касания. известно, что моn = 100. найдите мао.10. укажите точку, в которой пересекаются серединные перпендикуляры катетов прямоугольного треугольника.
R - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности.
Начнём с описанной окружности. Поскольку угол С прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2R
Теперь вписанная окружность. Опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. Два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла С, образуют квадрат со стороной r.
Тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны
(а - r) и (b - r).
Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r).
Получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r.
Но ранее мы получили, что с = 2R
Тогда 2R = a + b - 2r
2R + 2r = a + b
R + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.