1)Какой многоугольник называется правильным ? 2) Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника ?
3) Чему равен угол правильного многоугольника?
4)Формула длины окружности и длины дуги окружности
5) Что является центром вписанной в треугольник окружности ?
6)Что является центром описанной около треугольника окружности ?
7)В какой четырехугольник можно вписать окружность ?
8)Около какого четырехугольника можно описать окружность ?

Сначала припомним – что же такое вписанный угол.

Вписанный угол расположен в середине окружности (потому он называется вписанным), его вершина лежит на окружности, а его стороны (лучи, которые выходят из его вершины) пересекаются с окружностью.

Существует также понятие центрального угла, вершина которого лежит в центре окружности (отсюда и название).

Размер вписанного угла измеряется в градусах. Размер вписанного угла можно найти, если известен размер центрального угла. В таком случае размер вписанного угла равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу, что и вписанный.

Градусные меры всех вписанных углов, которые опираются на одну дугу окружности, равны.

В случае, когда вписанный угол опирается на диаметр, то его градусная мера равна 90 градусов.

Задача.

Центральный угол на 47 градусов больше острого вписанного угла, который опирается на ту же дугу окружности. Найти градусную меру вписанного угла.

Решение.

Известно, что размер центрального угла в два раза больше размера вписанного угла, который опирается на ту же дугу:

central’niy.ugol = 2 * vpisanniy.ugol.

Из условия задачи известно, что центральный угол на 47 градусов больше от вписанного, тогда:

2 * vpisanniy.ugol = 47 + vpisanniy.ugol;

vpisanniy.ugol = 47.

ответ. 47 градусов.

Вписанные углы РMN и KNM опираются на равные хорды. Следовательно, дуги, стягиваемые этим хордами, равны. Вписанные углы, опирающиеся на равные  дуги (или на равные хорды), равны.  

∠РMN=∠KNM 

Проведем хорды МР и КN.  

В треугольниках MPN и MKN вписанные ∠Р = ∠К (опираются на диаметр).⇒

 Прямоугольные ∆ МРN=∆ MKN по острому углу и общей гипотенузе. 

Отсюда следует равенство PNM=KMN 

Эти углы - накрестлежащие при пересечении РN и  MK  секущей MN.   

Если при пересечении двух прямых секущей накрестлежащие углы равны. эти прямые - параллельны. Доказано.