1. Кут одного ромба дорівнює 45°, а кут іншого 135°. Чи подібні ці ромби?
а) Ні, бо в них різні кути; б) так, бо в них рівні відповідні кути та пропорційні сторони;
в) не можна визначити; г) ні ,бо в них рівні сторони.
2.Чи подібні два рівносторонні трикутники з різними сторонами?
а) Ні; б) трикутники рівні; в) трикутники подібні, оскільки їх відповідні кути рівні; г) трикутники різні, бо в них різні сторони.
3.За яких умов трикутники АВС і А1В1С1 подібні?
а) кут А=кут А1=30°; б) кутА=кутА1; кутВ=40°; кутВ1=50°; в) кутВ=кутВ1; кутС=47°; кутС1=47°;
г) кутА=кутА1; кутВ=150°;кутС1=150°.
4.CL - бісектриса трикутника АВС. АС=6см, ВС=9см. Більший з відрізків, на які бісектриса CL ділить сторону АВ, дорівнює 3см. Знайдіть АВ.
а)7,5см; б)6см; в)5см; г)6,5см.
5. Сторони трикутника відносяться як 3:4:5. Знайдіть найменшу сторону подібного йому трикутника, якщо сума його середньої за величиною і найбільшої сторін дорівнює 72см.
а)18см; б)27см; в)24см; г)29см.
6. Дві сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 6см і 12см, а дві сторони іншого 30см і 15см. Чи подібні ці трикутники? Якщо так, то вкажіть коефіцієнт подібності.
а) Ні; б) подібні. k=2; в) подібні. k=2,5; г) трикутників не існує.
7. Сторони трикутника дорівнюють 3см, 4см і 6см. Чому дорівнюють сторони подібного трикутника, периметр якого дорівнює 58,5см?
а) 13см; 18см; 28см; б) 13,5см; 16см; 30см; в) ; 18см; 27см; г) 12см; 16см; 24см.
8. Основи трапеції дорівнюють ВС=20см, АD=30см, а діагоналі АС і ВD відповідно дорівнюють 24см і 42см і перетинаються в точці О. Обчисліть периметр трикутника ВОС.
а) 42см; б)41см; в)64см; г)46,4см.
Во-вторых, она должна быть 4-угольной, потому что 4 угла куба не могут лежать на трех апофемах треугольной пирамиды.
Значит, считаем, что это 4-угольная правильная пирамида.
В основании квадрат. В пирамиду вписан куб так, что 4 нижних вершины лежат на основании, а 4 верхних на апофемах (высоты боковых граней).
Я сделал рисунок. Там много линий, и чтобы разобраться, я нарисовал апофемы красным, куб синим, а высоту пирамиды жирным черным.
Нижние вершины куба лежат на средних линиях основания KM и LN.
Справа я нарисовал сечение пирамиды плоскостью SLN.
В сечении будет равнобедренный треугольник, а в него вписан прямоугольник PRR1P1, у которого высота PP1 = RR1 = x - стороне куба,
а основание PR = P1R1 = x√2 - диагонали грани куба.
Теперь решаем задачу.
Сторона основания пирамиды а, диагональ AC = BD = a√2,
OC = a√2/2, угол наклона бокового ребра α.
В треугольнике AOS катет OS=H=AO*tg α=a*√2/2*tg α.
В треугольнике LOS катет OL = a/2, по теореме Пифагора
SL^2 = OL^2 + OS^2 = a^2/4 + a^2/2*tg α = a^2/4*(1 + 2tg α)
SL = a/2*√(1 + 2tg α)
Угол наклона апофемы к плоскости основания OLS = β:
tg β = OS/OL = (a*√2/2*tg α) : (a/2) = √2*tg α
В треугольнике RR1L катет
RL = RR1/tg β = x/(√2*tg α) = x√2/(2tg α)
Но мы знаем, что PR = x√2 и NP = RL. Получаем
NL = NP + PR + RL
a = 2*x√2/(2tg α) + x√2 = x√2/tg α + x√2
Задача встречается в таком виде:
Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 12, она составляет угол 30° с плоскостью боковой грани. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.
DB₁ - диагональ прямоугольного параллелепипеда.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
В₁С₁⊥(DD₁C₁), значит DC₁ - проекция диагонали DB₁ на плоскость (DD₁C₁), а ∠B₁DC₁ = 30°.
ΔB₁C₁D: ∠C₁ = 90°,
B₁C₁ = DB₁ · sin30° = 12 · 1/2 = 6 - ребро основания
DC₁ = DB₁ · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3
ΔDCC₁: ∠C = 90°, по теореме Пифагора
СС₁ = √(DС₁² - DC²) = √(108 - 36) = √72 = 6√2 - высота параллелепипеда
V = Sосн·H = 6² · 6√2 = 216√2