1.квадрат одной из сторон треугольника больше суммы квадратов двух других его сторон.определите вид этого треугольника. 2.квадрат наибольшей стороны треугольника меньше суммы квадратов двух других его сторн.определите вид этого треугольника.
Вместо того, чтобы проводить отрезок CM (см. чертеж), я построил окружность на AC, как на диаметре. Середина AC - точка N - это центр этой окружности. Эта окружность проходит через все точки, из которых AC видна под прямым уголом, в частности - через точки D и F (основание высоты, в решении не нужна :) ).
Отрезок DE из условия является касательной к это окружности в точке D, так как ND II CB, как средняя линия треугольника ABC, то есть DE перпендикулярно радиусу ND.
В том числе эта окружность пересекает AE в точке K (из неё AC тоже видна под прямым углом, то есть ∠CKA = 90°). Я провожу отрезки CK и KM (M - середина DE), не предполагая, что они лежат на одной прямой. Для того, чтобы это "случилось", необходимо, чтобы ∠EKM = 90°. Вот это я и буду доказывать.
Треугольники AED и DKE подобны по 2 углам (один угол общий, а ∠KAD = ∠KDE, поскольку один угол вписаный, а другой лежит между касательной и секущей, и оба измеряются половиной дуги DK.
ND делит отрезок AE пополам (как средняя линия тр-ка ABC, ND делит пополам любую чевиану из вершины A), то есть Q - середина AE. Точки Q и M являются соответственными точками двух подобных треугольников, поэтому ∠QDE = ∠MKE = 90° чтд.
Если слова "являются соответственными точками" не понятны, то можно и так сказать - треугольники QDE и MKE подобны по двум пропорциональным сторонам и общему углу: QE и ME являются половинами сторон подобных треугольников AED и DKE, поэтому QE/ME = AE/ED = ED/EK;
Дано: угол С равен 60°, AB=3, BC=8, CD=5.
Найти:
а) Длину BD. Находим по теореме косинусов.
BD = √(5² + 8² - 2*5*8*cos 60°) = √(25 + 64 - 2*5*8*(1/2) =
= √49 = 7.
б) Длину радиуса окружности.
R = (abc)/(4S). Площадь треугольника BCD определяем по Герону:
a = 5, b = 8, c = 7.
p = (5+8+7)/2 = 20/2 = 10.
S = √(10*5*2*3) = 10√3 ≈ 17, 320508.
R = (5*8*7)/(4*10√3) = 7/√3 = 7√3/3.
в) Площадь четырёхугольника ABCD.
Находим площадь треугольника ABD.
По теореме синусов находим AD = 5. p = (3 + 7 + 5)/2 = 7,5.
S(ABD) = √(7.5*4.5*0.5*2.5) = √42,1875 ≈ 6,495191.
S(ABCD) = 10√3 + √42,1875 ≈ 23,8157 кв.ед.
Вместо того, чтобы проводить отрезок CM (см. чертеж), я построил окружность на AC, как на диаметре. Середина AC - точка N - это центр этой окружности. Эта окружность проходит через все точки, из которых AC видна под прямым уголом, в частности - через точки D и F (основание высоты, в решении не нужна :) ).
Отрезок DE из условия является касательной к это окружности в точке D, так как ND II CB, как средняя линия треугольника ABC, то есть DE перпендикулярно радиусу ND.
В том числе эта окружность пересекает AE в точке K (из неё AC тоже видна под прямым углом, то есть ∠CKA = 90°). Я провожу отрезки CK и KM (M - середина DE), не предполагая, что они лежат на одной прямой. Для того, чтобы это "случилось", необходимо, чтобы ∠EKM = 90°. Вот это я и буду доказывать.
Треугольники AED и DKE подобны по 2 углам (один угол общий, а ∠KAD = ∠KDE, поскольку один угол вписаный, а другой лежит между касательной и секущей, и оба измеряются половиной дуги DK.
ND делит отрезок AE пополам (как средняя линия тр-ка ABC, ND делит пополам любую чевиану из вершины A), то есть Q - середина AE. Точки Q и M являются соответственными точками двух подобных треугольников, поэтому ∠QDE = ∠MKE = 90° чтд.
Если слова "являются соответственными точками" не понятны, то можно и так сказать - треугольники QDE и MKE подобны по двум пропорциональным сторонам и общему углу: QE и ME являются половинами сторон подобных треугольников AED и DKE, поэтому QE/ME = AE/ED = ED/EK;