1) MA - перпендикуляр к плоскости квадрата ABCD, MA = 9, AB = 12. Найти расстояние от точки М до прямой CD.
2) MC - перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С, MС = 2, AС = 6, ВС = 8. Найти расстояние от точки М до прямой АВ.
3) MВ - перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, MA = 13, МС = 9, MD = 15. Найти MВ.
Высота прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе - есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею отрезков гипотенузы.
Пусть треугольник будет АВС, высота СН, отрезок ВН равен х, отрезок АН= 10-х
СН²=ВН*(АВ-ВН)=х*(10-х)
В то же время
катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу.
Возьмем катет ВС=6:
6²=10*х
Тогда х=3,6 см.
h²=3,6*(10-3,6)=23,04
h=4,8 см------
Т.к. высота прямоугольного треугольника из вершины прямого угла к гипотенузе делит его на два подобных, можно задачу решать через подобие.
а) Цент квадрата О - это точка пересечения диагоналей квадрата КМ и НЕ. Т.к. диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам, то <КОЕ=90°, КО=ОЕ.
По условию <АСВ=90°, значит отрезок КЕ виден из точек С и О под прямым углом, следовательно точки С и О лежат на окружности диаметра КЕ. Вписанные углы КCO и ЕCO опираются на равные дуги этой окружности КО и ОЕ, значит они равны, а СО - биссектриса угла ACB, что и требовалось доказать.
б) Из прямоугольного ΔВЕМ найдем ВМ=ЕМ/tg АBС.
Из прямоугольного ΔКАН найдем АН=КН*tg АВС (углы АКН и АВС равны, т.к. <АКН=90-<САВ и <АВС=90-<САВ).
Гипотенуза АВ=АН+НМ+ВМ=КН*tg АВС+НМ+ЕМ/tg АBС=НМ(tg АВС+1+1/tg АВС).
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, значит АВ=2R
По условию R/НМ=13/6
2R=НМ(tg АВС+1+1/tg АВС).
2R/НМ=(tg АВС+1+1/tg АВС).
tg АВС+1+1/tg АВС=13/3
3tg² АВС+3tg АВС+3=13tg АВС
3tg² АВС-10tg АВС+3=0
D=100-36=64
tg АВС=(10+8)/6=3
tg АВС=(10-8)/6=1/3
Значит углы треугольника равны arctg 3 и arctg 1/3