1. на стороне вс треугольника авс выбрана точка d так, что bd : dc = 3 : 2, точка k – середина отрезка ab, точка f – середина отрезка ad, kf = 6 см, adc = 100o. найдите вс и afk. 2. в прямоугольном треугольнике авс c=90o, ас = 4 см, св = см, см – медиана. найдите угол всм. 3. в равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 12 см, меньший угол равен . найдите периметр и площадь трапеции. 4. в равнобедренном треугольнике авс с основанием ас медианы пересекаются в точке о. найдите площадь треугольника авс, если оа = 13 см, ов = 10 см.
Типовое построение - проводим через вершины малого основания прямую II диагонали, НЕ проходящей через эту вершину, до пересечения с продолжением большого основания. Получается треугольник, РАВНОВЕЛИКИЙ (имеющий ту же площадь) трапеции (у него основание равно сумме оснований трапеции, а высота - общая с трапецией).
В этом треугольнике нам известна одна сторона 6, высота к "основанию" 5, площадь 30, надо найти стороны. Обозначим неизвестные стороны c и b
"основание" находится легко (это с)
с*5/2 = 30, с = 12. (для трапеции это - сумма оснований :))
если обозначить угол между диагональю и основанием Ф, то из этого треугольника находим sin(Ф) = 5/6.
Отсюда сos(Ф) = корень(1 - (5/6)^2) = корень(11)/6;
по теореме косинусов
b^2 = 6^2 + 12^2 - 2*6*12*корень(11)/6 = 180 - 24*корень(11);
b = корень(180 - 24*корень(11));
Раз трапеция равнобедренная, то и диагонали равны (ну рассмотрите пару треугольников, образованных РАЗНЫМИ ДИАГОНАЛЯМИ, большим основанием и боковой стороной, из их равенства по 2 сторонам и углу между ними следует и равенство третьих сторон, то етсь диагоналей).
Типовое построение - проводим через вершины малого основания прямую II диагонали, НЕ проходящей через эту вершину, до пересечения с продолжением большого основания. Получается треугольник, РАВНОВЕЛИКИЙ (имеющий ту же площадь) трапеции (у него основание равно сумме оснований трапеции, а высота - общая с трапецией).
Этот треугольник В ДАННОМ СЛУЧАЕ равнобедренный прямоугольный с гипотенузой 64. Поэтому его площадь равна 32*64/2 = 1024
(32 - это высота, она же медиана к гипотенузе, равна половине гипотенузы)