№1.Накреслити трикутник АВС і побудувати його образ при гомотетії з центром у вершині А і коефіцієнтом k = 0,5.
Чому дорівнює відношення периметрів побудованого трикутника і трикутника АВС ?
№2.Сторони двох квадратів відносяться як 3 : 7. Знайти площу меншого квадрата, якщо площа більшого 98〖см〗^2.
№3.Обчислити координати образу точки А(4; 5) при гомотетії з
центром С(3; – 4) і коефіцієнтом k = 3.
№4.Точка М ділить сторону ВС квадрата АВСD у відношенні
3 : 5, рахуючи від точки В. Відрізки АМ і ВD перетинаються в
точці Р. Знайти площу трикутника АРD, якщо площа трикутника ВРМ дорівнює 18〖см〗^2.
№5.Площа будівлі дорівнює 120 м^2. Яку площу вона матиме на
плані у масштабі 1 : 200 ?
на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки
Лемма. Если числа
то
лишь бы знаменатель в ноль не обращался.
Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.
Обозначим общее значение дробей
Тогда
что и требовалось доказать.
Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае
Доказательство теоремы.
1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке
Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников
Поэтому
Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:
Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:
что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.
2. Пусть
По доказанному,
Если бы было выполнено
то
что невозможно при
(скажем, если точки на стороне
расположены в порядке
то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).
На этом доказательство завершается.
Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы.
Воспользуемся для этого теоремой синусов:
Аналогично получаем
Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы.
Отрезки
Примеры.
1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.
2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.
3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.
Площадь основания найдем, ну. например по формуле Герона.
p= (5+5+6)/2 = 8
S =√(8*2*3*3) =12 см².
V= 2√2*12 = 24√2 cм³.
2. Высота, боковое ребро и его проекция образуют прямоугольный треугольник. Гипотенуза b, а катет равен половине диагонали квадрата а√2/2. Высоту находим по теореме Пифагора :
H=√(b²-(a√2/2)²) = √(b² -a²/2).
S = a².
V = 1/3 a²√(b²-a²/2).