1. Найдите градусные меры двух дуг окружности, на которые её делят две точки, если градусная мера одной из дуг на 70° больше градусной меры другой. 2. Найдите вписанный угол, если градусная мера дуги, на которую он опирается, равна: 1) 42°; 2) 228°
3. Точки К и D лежат на окружности по одну сторону от хорды АВ. Найдите угол АКВ, если ∠ADB = 149°.
4. Точка А окружности и её центр О лежат по разные стороны от хорды MN. Найдите: 1) угол MAN, если ∠MON = 116°; 2) угол MON, если ∠MAN = 93°.
5. Точки К и D лежат на окружности по разные стороны от хорды А В. Найдите угол ADB, если ∠AKB = 113°.
Тогда площади треугольников за пределами MKP в сумме дадут
(с/2 - x)*(b/2 + z)*sin(A)/2 + (c/2 + x)*(a/2 - y)*sin(B)/2 + (a/2 + y)*(b/a - z)*sin(C)/2;
Тут могут быть какие-то вопросы, что именно и как обозначено. На самом деле это совершенно не важно. Обозначьте как-то стороны a b c (само собой, напротив стороны a лежит угол A и так далее), и на стороне a точка лежит на y от середины, на стороне b - на расстоянии z от середины, на стороне c - на расстоянии x от середины. При этом x y z могут принимать и положительные, и отрицательные значения. Смысл задачи в том, чтобы доказать, что замена x y z => -x -y -z не изменяет знака приведенного выражения (само собой, тогда эта замена не влияет и на площадь MKP).
Если раскрыть скобки, получится вот что
(cb/4 - xz)*sin(A)/2 + (ca/4 - xy)*sin(B)/2 + (ab/2 - yz)*sin(C)/2 +
+ (x/4)*(a*sin(B) - b*sin(A)) + (y/4)*(b*sin(C) - c*sin(B)) +
+ (z/4)*(c*sin(A) - a*sin(C));
Первые три слагаемых очевидно не меняют знака при x y z => -x -y -z,
три других слагаемых равны 0 по теореме синусов, поскольку
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C);
всё доказано.
Тут всё основывается на одной теореме о вписанном угле: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.Углы ABD, CAD и ABC --- вписанные в окружность.
1) Угол ABD = 82 градуса, он опирается на дугу AD, следовательно дуга AD = 82 умножить 2 = 164 градуса.
2) Угол CAD = 28 градусов, он опирается на дугу CD, следовательно дуга CD = 28 умножить 2 = 56 градусов.
3) Угол ABC не известен, но он опирается на дугу AC. Дуги АС и СD дают в сумме дугу AD, а так как дуга AD = 164 градуса, а дуга CD = 56 градусов, то дуга АС = дуга AD минус дуга CD = 164 - 56 = 108 градусов. Исходя из того, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, то Угол ABC = дуга АС /2 = 108 / 2 = 54 градуса.
ответ: 54 градуса.